Halle el momento de inercia de un paralelepípedo homogéneo de densidad
, de lados
, cuya masa total es
, con respecto a cada uno de sus lados.
Passo 1
Beleza, vamos nessa! O que a gente precisa fazer aqui é encontrar o momento de inércia de um paralelepípedo homogêneo. Isso significa que a densidade é a mesma em todo o objeto. O paralelepípedo tem lados de comprimentos $ a $, $ b $ e $ c $, e a massa total dele é $ M $. Queremos calcular o momento de inércia em relação a cada um desses lados.
Matéria envolvida: Cinemática rotacional, mais especificamente o cálculo do momento de inércia para corpos sólidos.
O que vamos precisar:
- Entender a definição de momento de inércia.
- Conhecer a fórmula para o momento de inércia de um paralelepípedo homogêneo.
- Aplicar essa fórmula para cada eixo correspondente aos lados $ a $, $ b $ e $ c $.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é o momento de inércia. É uma grandeza que mede como a massa de um corpo está distribuída em relação a um eixo de rotação. Quanto mais afastada a massa estiver do eixo, maior será o momento de inércia.
A fórmula geral para o momento de inércia $ I $ de um corpo em relação a um eixo é:
onde $ r $ é a distância de um elemento de massa $ dm $ ao eixo de rotação.
Passo 3
No caso de um paralelepípedo homogêneo, podemos simplificar bastante porque a densidade é uniforme. A fórmula do momento de inércia em relação a cada um dos eixos principais ($ a $, $ b $, $ c $) é dada por:
Essas fórmulas vêm da integração dos elementos de massa distribuídos nas dimensões do paralelepípedo.
Passo 4
Vamos interpretar cada fórmula:
- $ I_a $: Momento de inércia em relação ao lado $ a $. Aqui, consideramos as distâncias nas direções $ b $ e $ c $.
- $ I_b $: Momento de inércia em relação ao lado $ b $. Consideramos as distâncias nas direções $ a $ e $ c $.
- $ I_c $: Momento de inércia em relação ao lado $ c $. Consideramos as distâncias nas direções $ a $ e $ b $.
Isso faz sentido porque o momento de inércia depende de como a massa está distribuída em relação ao eixo escolhido.
Passo 5
Agora, vamos aplicar essas fórmulas ao nosso paralelepípedo:
- Para o eixo $ a $:
- Para o eixo $ b $:
- Para o eixo $ c $:
Assim, fica claro como calcular o momento de inércia em cada direção.
Resposta
O momento de inércia do paralelepípedo homogêneo em relação aos lados $ a $, $ b $ e $ c $ é dado por: