Halle el momento de inercia de un paralelepípedo homogéneo de densidad p0, de lados a, b, c, cuya masa total es M, con respecto a cada uno de sus lados.

Passo 1

Beleza, vamos nessa! O que a gente precisa fazer aqui é encontrar o momento de inércia de um paralelepípedo homogêneo. Isso significa que a densidade é a mesma em todo o objeto. O paralelepípedo tem lados de comprimentos $ a $, $ b $ e $ c $, e a massa total dele é $ M $. Queremos calcular o momento de inércia em relação a cada um desses lados.
Matéria envolvida: Cinemática rotacional, mais especificamente o cálculo do momento de inércia para corpos sólidos.
O que vamos precisar:
  • Entender a definição de momento de inércia.
  • Conhecer a fórmula para o momento de inércia de um paralelepípedo homogêneo.
  • Aplicar essa fórmula para cada eixo correspondente aos lados $ a $, $ b $ e $ c $.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o momento de inércia. É uma grandeza que mede como a massa de um corpo está distribuída em relação a um eixo de rotação. Quanto mais afastada a massa estiver do eixo, maior será o momento de inércia.
A fórmula geral para o momento de inércia $ I $ de um corpo em relação a um eixo é:
I
onde $ r $ é a distância de um elemento de massa $ dm $ ao eixo de rotação.

Passo 3

No caso de um paralelepípedo homogêneo, podemos simplificar bastante porque a densidade é uniforme. A fórmula do momento de inércia em relação a cada um dos eixos principais ($ a $, $ b $, $ c $) é dada por:
a
b
c
Essas fórmulas vêm da integração dos elementos de massa distribuídos nas dimensões do paralelepípedo.

Passo 4

Vamos interpretar cada fórmula:
  • $ I_a $: Momento de inércia em relação ao lado $ a $. Aqui, consideramos as distâncias nas direções $ b $ e $ c $.
  • $ I_b $: Momento de inércia em relação ao lado $ b $. Consideramos as distâncias nas direções $ a $ e $ c $.
  • $ I_c $: Momento de inércia em relação ao lado $ c $. Consideramos as distâncias nas direções $ a $ e $ b $.
Isso faz sentido porque o momento de inércia depende de como a massa está distribuída em relação ao eixo escolhido.

Passo 5

Agora, vamos aplicar essas fórmulas ao nosso paralelepípedo:
  • Para o eixo $ a $:
a
  • Para o eixo $ b $:
Ia = 112 M (b^2 + c^2)
  • Para o eixo $ c $:
b
Assim, fica claro como calcular o momento de inércia em cada direção.

Resposta

O momento de inércia do paralelepípedo homogêneo em relação aos lados $ a $, $ b $ e $ c $ é dado por:
a
b
c

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