En los ejercicios siguientes, hallar Ix, Iy, I0, barx y bary para la lámina limitada o acotada por las gráficas de las ecuaciones.
c) y=x, y=x^2 rho(x, y)=k x y

Passo 1

En esta lámina tenemos densidad variable rho(x,y)=kxy y región en el primer cuadrante limitada por y=x^2 y y=x. Vamos a calcular la masa, los momentos para encontrar el centroide y luego los momentos de inercia requeridos.

Passo 2

Para hallar la masa M de la lámina usamos
M=integral duplaD rho(x,y),dA = integralx=0^1integraly=x^2^x k,x,y,dy,dx
Primero integramos en y:
integralx^2^x y,dy = x^2 - x^42
Luego
M = kintegral0^1 xcdotx^2 - x^42,dx = k2integral0^1(x^3 - x^5),dx = k2l(tfrac14-tfrac16r)=k24

Passo 3

Para hallar x usamos
x = 1M integral duplaD x,rho(x,y),dA = 1M integral0^1integralx^2^x xcdot k x y,dy,dx
Calculamos la integral:
integralx^2^x x^2 y,dy = x^2cdotx^2 - x^42 = x^4 - x^62,
entonces
integral duplaD xrho,dA = kintegral0^1 x^4 - x^62,dx = k2l(15-17r)=k35
Por tanto
x=tfrack35tfrack24=2435

Passo 4

Para hallar y usamos
y = 1M integral duplaD y,rho(x,y),dA = 1M integral0^1integralx^2^x ycdot k x y,dy,dx
La integral interna es
integralx^2^x x y^2,dy = xcdotx^3 - x^63 = x^4 - x^73,
luego
integral duplaD yrho,dA = kintegral0^1 x^4 - x^73,dx = k3l(tfrac15-tfrac18r)=k40
Así
y=tfrack40tfrack24=2440=35

Passo 5

El momento de inercia respecto al eje x es
Ix = integral duplaD y^2,rho(x,y),dA = kintegral0^1integralx^2^x y^2,x y,dy,dx = kintegral0^1 xintegralx^2^x y^3,dy,dx
Se tiene
integralx^2^x y^3,dy = x^4 - x^84,
entonces
Ix = k4integral0^1(x^5 - x^9),dx = k4l(tfrac16-tfrac110r)=k60

Passo 6

El momento de inercia respecto al eje y es
Iy = integral duplaD x^2,rho(x,y),dA = kintegral0^1integralx^2^x x^2,x y,dy,dx = kintegral0^1 x^3integralx^2^x y,dy,dx
Ya calculamos integralx^2^x y,dy = x^2 - x^42, así
Iy = k2integral0^1(x^5 - x^7),dx = k2l(tfrac16-tfrac18r)=k48

Passo 7

El momento de inercia respecto al origen I0 es la suma
I0 = Ix + Iy = k60 + k48 = 3k80

Resposta

I_x = \tfrac{k}{60}, \quad I_y = \tfrac{k}{48}, \quad I_0 = \tfrac{3k}{80}, \quad \overline{x} = \tfrac{24}{35}, \quad \overline{y} = \tfrac{3}{5}.

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