As funções seno hiperbólico e cosseno hiperbólico são definidas, respectivamente, por
cosh (x)=e^x+e^-x2 e senh(x)=e^x-e^-x2
  1. Mostre que cosh ^2(x)-senh^2(x)=1.
    Isto mostra que o ponto de coordenadas (cosh (x), senh(x)) está sobre a hipérbole de equação x^2-y^2=1. Para refletir sobre o que isto representa e comparar com o seno e o cosseno tradicionais (também chamados de circulares), lembre-se de que o ponto (cos (x), sen(x)) está sobre o círculo de equação x^2+y^2=1.
  2. Mostre que cosh ^prime(x)=senh(x) e senh^prime(x)=cosh (x).
  3. Definindo tgh(x)=senh(x)cosh (x) e sech(x)=1cosh (x), calcule tgh^prime(x) e sech^prime(x). Você percebe alguma semelhança com as derivadas de tg e sec ?

Passo 1

O enunciado define as funções hiperbólicas
cosh(x)=e^x+e^-x2, senh(x)=e^x-e^-x2
E pede para mostrar a identidade cosh^2(x)-senh^2(x)=1, calcular as derivadas de cosh e senh, e depois, usando
tgh(x)=senh(x)cosh(x), sech(x)=1cosh(x),
achar tgh'(x) e sech'(x). Vamos precisar expandir expressões exponenciais, usar diferenciação de exponencial, regra do quociente e da cadeia.

Passo 2

Desenvolvemos primeiro a identidade de diferença de quadrados. Note que
cosh^2(x)=(e^x+e^-x)^24=e^2x+2+e^-2x4,
senh^2(x)=(e^x-e^-x)^24=e^2x-2+e^-2x4
Subtraindo,
cosh^2(x)-senh^2(x)=(e^2x+2+e^-2x)-(e^2x-2+e^-2x)4=44=1

Passo 3

Agora derivamos cosh e senh diretamente das definições:
ddxcosh(x)=e^x-(-e^-x)2=e^x+e^-x2=senh(x),
ddxsenh(x)=e^x-(-e^-x)'2=e^x+e^-x2=cosh(x)

Passo 4

Para tgh(x)=senh(x)/cosh(x), aplicamos a regra do quociente:
tgh'(x)=cosh(x)cdot(senh'(x)) - senh(x)cdot(cosh'(x))cosh^2(x) =cosh(x)cosh(x)-senh(x)senh(x)cosh^2(x) =cosh^2(x)-senh^2(x)cosh^2(x) =1cosh^2(x)=sech^2(x)

Passo 5

Para sech(x)=1/cosh(x), usamos a regra da cadeia:
sech'(x)=-cosh'(x)cosh^2(x)=-senh(x)cosh^2(x)=-sech(x),tgh(x)
Observamos que isso espelha as derivadas circulares
ddxtan(x)=sec^2(x), ddxsec(x)=sec(x)tan(x),
com a troca tantotgh,;sectosech e um sinal “–” extra na derivada de sech.

Resposta

  1. cosh^2(x)-senh^2(x)=1
  2. cosh'(x)=senh(x) e senh'(x)=cosh(x)
  3. tgh'(x)=sech^2(x) e sech'(x)=-sech(x),tgh(x) These mirror the circular identities tan' = sec^2 and sec' = sectan, up to the extra minus sign in .

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