As funções seno hiperbólico e cosseno hiperbólico são definidas, respectivamente, por
- Mostre que
.
Isto mostra que o ponto de coordenadas
está sobre a hipérbole de equação
. Para refletir sobre o que isto representa e comparar com o seno e o cosseno tradicionais (também chamados de circulares), lembre-se de que o ponto
está sobre o círculo de equação
.
- Mostre que
e
.
- Definindo
e
, calcule
e
. Você percebe alguma semelhança com as derivadas de tg e sec ?
Isto mostra que o ponto de coordenadas
Passo 1
O enunciado define as funções hiperbólicas
E pede para mostrar a identidade
, calcular as derivadas de
e
, e depois, usando
achar
e
. Vamos precisar expandir expressões exponenciais, usar diferenciação de exponencial, regra do quociente e da cadeia.
Passo 2
Desenvolvemos primeiro a identidade de diferença de quadrados. Note que
Subtraindo,
Passo 3
Agora derivamos
e
diretamente das definições:
Passo 4
Para
, aplicamos a regra do quociente:
Passo 5
Para
, usamos a regra da cadeia:
Observamos que isso espelha as derivadas circulares
com a troca
e um sinal “–” extra na derivada de
.
Resposta
-
-
e -
e These mirror the circular identities and , up to the extra minus sign in .