En los siguientes ejercicios hallar la masa y el centro de masa de la lámina limitada o acotada por las graficas de la ecuaciones con la densidad dada.
a)
a)
Passo 1
O exercício pede a massa e o centro de massa de uma lâmina na região R limitada por 0 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ e^{−x}, com densidade variável ρ(x,y)=k y. Vamos usar integrais duplas para massa e momentos, e depois dividir pelos resultados para achar (x̄, ȳ).
Passo 2
Para achar a massa M usamos a definição
Calculando a integral interna:
logo
Passo 3
Para achar a abscissa do centro de massa x̄ usamos
A integral em y dá k x e^{-2x}/2, logo
Dividindo por M obtemos
Passo 4
Para achar a ordenada do centro de massa ȳ usamos
A integral em y dá k e^{-3x}/3, então
Dividindo por M resulta
Passo 5
Portanto chegamos às fórmulas finais para massa e centro de massa da lâmina.
Resposta
M=\frac{k}{4}\bigl(1-e^{-4}\bigr), x̄=\frac{1-5e{-4}}{2\bigl(1-e{-4}\bigr)}, ȳ=\frac{4\bigl(1-e{-6}\bigr)}{9\bigl(1-e{-4}\bigr)}