En los siguientes ejercicios hallar la masa y el centro de masa de la lámina limitada o acotada por las graficas de la ecuaciones con la densidad dada.
a) y=e^-x, y=0, x=0 x=2, rho(x, y)=k y
R:(x, y) / 0 <= x <= 2,0 <= y <= e^-x

Passo 1

O exercício pede a massa e o centro de massa de uma lâmina na região R limitada por 0 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ e^{−x}, com densidade variável ρ(x,y)=k y. Vamos usar integrais duplas para massa e momentos, e depois dividir pelos resultados para achar (x̄, ȳ).

Passo 2

Para achar a massa M usamos a definição
M=integral duplaRrho(x,y),dA=integralx=0^2integraly=0^e^-xk,y,dy,dx
Calculando a integral interna:
integral0^e^-xy,dy=e^-2x2,
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M=k2integral0^2e^-2xdx=k2cdot1-e^-42=k4(1-e^-4)

Passo 3

Para achar a abscissa do centro de massa x̄ usamos
x̄=1Mintegral duplaR x,rho(x,y),dA =1Mintegral0^2integral0^e^-xk,x,y,dy,dx
A integral em y dá k x e^{-2x}/2, logo
integral duplaR x,rho,dA=k2integral0^2x e^-2xdx =k2cdot1-5e^-44=k8(1-5e^-4)
Dividindo por M obtemos
x̄=tfrack8(1-5e^-4)tfrack4(1-e^-4)=1-5e^-42(1-e^-4)

Passo 4

Para achar a ordenada do centro de massa ȳ usamos
ȳ=1Mintegral duplaR y,rho(x,y),dA =1Mintegral0^2integral0^e^-xk,y^2,dy,dx
A integral em y dá k e^{-3x}/3, então
integral duplaR y,rho,dA=k3integral0^2e^-3xdx=k3cdot1-e^-63=k9(1-e^-6)
Dividindo por M resulta
ȳ=tfrack9(1-e^-6)tfrack4(1-e^-4)=4(1-e^-6)9(1-e^-4)

Passo 5

Portanto chegamos às fórmulas finais para massa e centro de massa da lâmina.

Resposta

M=\frac{k}{4}\bigl(1-e^{-4}\bigr), x̄=\frac{1-5e{-4}}{2\bigl(1-e{-4}\bigr)}, ȳ=\frac{4\bigl(1-e{-6}\bigr)}{9\bigl(1-e{-4}\bigr)}

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