Hallar el valor promedio de f(x, y) en la región R en cada caso
b) f(x, y)=x^2+y^2 R:rectángulo con vértices (0,0),(2,0),(2,2) y(0,2)

Passo 1

O enunciado pede o valor médio de f(x,y)=x²+y² na região retangular R com vértices (0,0), (2,0), (2,2) e (0,2). O conteúdo é valor médio de função de duas variáveis, usando integrais duplas. A fórmula do valor médio é
fmédio = 1área(R) integral duplaR f(x,y),dA éá

Passo 2

A área de R é a área de um retângulo de lados 2 e 2, logo
área(R) = 2 times 2 = 4 á

Passo 3

Montamos a integral dupla de f sobre R como integral iterada:
integral duplaR (x^2+y^2),dA = integralx=0^2 integraly=0^2 (x^2 + y^2),dy,dx

Passo 4

Integramos primeiro em y, tratando x como constante:
integral0^2 (x^2 + y^2),dy = x^2 integral0^2 1,dy + integral0^2 y^2,dy = 2x^2 + 2^33 = 2x^2 + 83

Passo 5

Agora integramos em x:
integral0^2 l(2x^2 + tfrac83r),dx = 2 integral0^2 x^2,dx + 83 integral0^2 1,dx = 2 cdot 2^33 + 83cdot 2 = 163 + 163 = 323

Passo 6

Aplicamos a fórmula do valor médio dividindo pelo área:
fmédio = 14 cdot 323 = 83 é

Resposta

83

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