Sea
con
. Mostrar que existe un valor de
para el cual
) presenta en (3,2) un punto estacionario y hallar ese valor de
.
Passo 1
Tenemos la función f(x,y)=x3y2(a−x−y) con a real. Queremos hallar el valor de a para que en el punto (3,2) el gradiente de f sea nulo, es decir, un punto estacionario. Para ello necesitaremos derivadas parciales.
Passo 2
Para calcular la derivada parcial respecto a x usamos la regla de producto con u=x3y2 y v=(a−x−y). Así obtenemos:
Passo 3
Análogamente, para la derivada parcial respecto a y tenemos u=x3y2 y v=(a−x−y), lo que da:
Passo 4
Evaluamos ambas derivadas en el punto (3,2) y las igualamos a cero. Para ∂f/∂x en (3,2):
Para ∂f/∂y en (3,2):
Como ambas deben valer cero, se cumple 108(a−6)=0.
Passo 5
De 108(a−6)=0 se deduce que a=6. De este modo f tiene un punto estacionario en (3,2) justamente cuando a vale 6.