Sea f: R^2 R / f(x, y)=x^3 y^2(a-x-y) con a in R. Mostrar que existe un valor de a para el cual f(x, y ) presenta en (3,2) un punto estacionario y hallar ese valor de a.

Passo 1

Tenemos la función f(x,y)=x3y2(a−x−y) con a real. Queremos hallar el valor de a para que en el punto (3,2) el gradiente de f sea nulo, es decir, un punto estacionario. Para ello necesitaremos derivadas parciales.

Passo 2

Para calcular la derivada parcial respecto a x usamos la regla de producto con u=x3y2 y v=(a−x−y). Así obtenemos:
∂f∂x=∂u∂xcdot v + ucdot∂v∂x=3x^2y^2(a−x−y)+x^3y^2(−1)

Passo 3

Análogamente, para la derivada parcial respecto a y tenemos u=x3y2 y v=(a−x−y), lo que da:
∂f∂y=∂u∂ycdot v + ucdot∂v∂y=2x^3y(a−x−y)+x^3y^2(−1)

Passo 4

Evaluamos ambas derivadas en el punto (3,2) y las igualamos a cero. Para ∂f/∂x en (3,2):
∂f∂x(3,2)=3·3^2·2^2(a−5)+3^3·2^2(−1)=108(a−5)−108=108(a−6)
Para ∂f/∂y en (3,2):
∂f∂y(3,2)=2·3^3·2(a−5)−108=108(a−5)−108=108(a−6)
Como ambas deben valer cero, se cumple 108(a−6)=0.

Passo 5

De 108(a−6)=0 se deduce que a=6. De este modo f tiene un punto estacionario en (3,2) justamente cuando a vale 6.

Resposta

a = 6

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