Ao encher o pneu de uma bicicleta, um litro de ar a pressão atmosférica é comprimido adiabaticamente a uma pressão de 7 atm . Considere que \gamma=7 / 5 (ar é em grande parte composto de N_{2} e O_{2}, portanto, moléculas diatômicas).
(a) Qual é o volume final do ar após a compressão?
(b) Quanto de trabalho é feito sobre o gás na compressão?
(c) Se a temperatura inicial do ar é T_{0}=300 \mathrm{~K}, qual é a temperatura final após a compressão?

Passo 1

O enunciado dá e pede o seguinte (listando tudo com calma):
  • Dados fornecidos:
    • Volume inicial: V_{1}=1\\ \text{L}.
    • Pressão inicial: P_{1}=1\\ \text{atm}.
    • Pressão final: P_{2}=7\\ \text{atm}.
    • Processo: adiabático (não entra nem sai calor).
    • Razão adiabática: \gamma=\tfrac{7}{5}=1{,}4.
    • Temperatura inicial (para a parte (c)): T_{1}=300\\ \text{K}.
  • O que o enunciado pede:
    (a) o volume final V_{2} após a compressão;
    (b) o trabalho feito sobre o gás na compressão (valor em joules);
    (c) a temperatura final T_{2} depois da compressão.

Passo 2

Conceito e fórmula que vamos usar para (a): em um processo adiabático reversível para gás ideal vale a relação
P V^{\gamma}=\text{constante}.
Isto significa que entre os estados 1 e 2
P_{1}V_{1}^{\gamma}=P_{2}V_{2}^{\gamma}.
Isolando V_{2} obtemos
V_{2}=V_{1}\left(\dfrac{P_{1}}{P_{2}}\right)^{1/\gamma}.
Agora aplicamos os números dados. Primeiro mantenho as unidades coerentes para volume (posso trabalhar em litros enquanto as duas pressões estão em atm, porque a relação é de razão):
V_{2}=1\\ \text{L}\times\left(\dfrac{1}{7}\right)^{1/1{,}4}.
Vamos calcular a potência \left(\dfrac{1}{7}\right)^{1/1{,}4}. Usando logaritmos ou exponenciais:
\left(\dfrac{1}{7}\right)^{1/1{,}4}=\exp\!\Big(\frac{1}{1{,}4}\ln\!\big(\tfrac{1}{7}\big)\Big).
Num cálculo numérico rápido:
\left(\dfrac{1}{7}\right)^{1/1{,}4}\approx 0{,}24927.
Portanto
V_{2}\approx 0{,}24927\\ \text{L}.
Se quiser em unidades SI (metro cúbico),
V_{1}=1\\ \text{L}=1{,}0\times10^{-3}\\ \text{m}^{3},\qquad V_{2}\approx 0{,}24927\times10^{-3}\\ \text{m}^{3}=2{,}4927\times10^{-4}\\ \text{m}^{3}.

Passo 3

Agora (b): energia e trabalho num processo adiabático. Método: calcular o trabalho feito sobre o gás diretamente a partir da integral W_{\text{by}}=\int_{V_{1}}^{V_{2}}P\,dV (trabalho realizado pelo gás). Como queremos o trabalho feito sobre o gás, usamos W_{\text{on}}=-W_{\text{by}}. Usando a lei adiabática P=C V^{-\gamma} com C=P_{1}V_{1}^{\gamma}, fazemos a integral:
W_{\text{by}}=\int_{V_{1}}^{V_{2}}C\,V^{-\gamma}\,dV = \frac{C}{1-\gamma}\Big(V_{2}^{1-\gamma}-V_{1}^{1-\gamma}\Big).
Substituindo C=P_{1}V_{1}^{\gamma} e rearranjando (fazendo algumas manipulações algébricas) chega-se à forma simples e muito usada:
W_{\text{by}}=\frac{P_{1}V_{1}-P_{2}V_{2}}{\gamma-1}.
Portanto o trabalho feito sobre o gás é
W_{\text{on}}=-W_{\text{by}}=\frac{P_{2}V_{2}-P_{1}V_{1}}{\gamma-1}.
Observação sobre sinais: em compressão V_{2}<V_{1} e P_{2}V_{2} pode ser maior que P_{1}V_{1}, dando W_{\text{on}}>0 — isto é, trabalho positivo feito sobre o gás, como esperado.
Vamos calcular numericamente. É conveniente calcular em unidades de \text{atm}\cdot\text{L} e depois converter para joules usando
1\\ \text{atm}\cdot\text{L}=101{,}325\\ \text{J}.
Calculamos primeiro P_{1}V_{1} e P_{2}V_{2} em \text{atm}\cdot\text{L}:
P_{1}V_{1}=1\\ \text{atm}\times1\\ \text{L}=1{,}00000\\ \text{atm}\cdot\text{L},
P_{2}V_{2}=7\\ \text{atm}\times 0{,}24927\\ \text{L}\approx 1{,}74487\\ \text{atm}\cdot\text{L}.
Diferença:
P_{2}V_{2}-P_{1}V_{1}\approx 0{,}74487\\ \text{atm}\cdot\text{L}.
Dividindo por \gamma-1 (lembre: \gamma-1=0{,}4):
W_{\text{on}}\approx \frac{0{,}74487}{0{,}4}=1{,}86218\\ \text{atm}\cdot\text{L}.
Convertendo para joules:
W_{\text{on}}\approx 1{,}86218\times101{,}325\\ \text{J}\approx 188{,}5\\ \text{J}.
Arredondando com sentido físico: aproximadamente 1{,}9\times10^{2}\\ \text{J} (ou 188\\ \text{J} com três algarismos significativos).

Passo 4

Parte (c): temperatura final T_{2}. Para processo adiabático reversível de gás ideal vale também
T V^{\gamma-1}=\text{constante},
ou equivalentemente
T_{2}=T_{1}\left(\dfrac{V_{1}}{V_{2}}\right)^{\gamma-1}.
Também se pode usar a forma com pressões:
T_{2}=T_{1}\left(\dfrac{P_{2}}{P_{1}}\right)^{(\gamma-1)/\gamma}.
Vou usar a forma em termos de pressão porque é curta:
T_{2}=300\\ \text{K}\times 7^{(\gamma-1)/\gamma}.
Aqui (\gamma-1)/\gamma=\tfrac{0{,}4}{1{,}4}=0{,}285714\ldots. Calculando
7^{0{,}285714\ldots}\approx 1{,}7430,
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T_{2}\approx 300\times 1{,}7430\approx 522{,}9\\ \text{K}.
Arredondando, T_{2}\approx 5{,}23\times10^{2}\\ \text{K} ou 523\\ \text{K}.

Passo 5

Checagem física (opcional, mas útil para fixar): como o processo é adiabático sem troca de calor, a variação da energia interna é igual ao trabalho feito sobre o gás:
\Delta U=W_{\text{on}}=n C_{V}(T_{2}-T_{1}).
Podemos obter o número de mols iniciais a partir de P_{1}V_{1}=nRT_{1}. Usando P_{1}=1{,}01325\times10^{5}\\ \text{Pa}, V_{1}=1{,}0\times10^{-3}\\ \text{m}^3, R=8{,}314\\ \text{J mol}^{-1}\text{K}^{-1}, T_{1}=300\\ \text{K}:
n=\frac{P_{1}V_{1}}{RT_{1}}\approx \frac{101{,}325\times10^{-3}}{8{,}314\times300}\approx 0{,}04060\\ \text{mol}.
Para gás diatômico \;C_{V}=\tfrac{5}{2}R. Então
\Delta U=nC_{V}(T_{2}-T_{1})\approx 0{,}04060\times\frac{5}{2}\times 8{,}314\times(522{,}9-300)\\ \text{J}\approx 188{,}5\\ \text{J},
coincidindo com o valor do trabalho calculado — bom sinal de consistência.

Resposta

(a) V_{2}\approx 0{,}24927\\ \text{L}=2{,}4927\times10^{-4}\\ \text{m}^{3}\n
(b) Trabalho feito sobre o gás W_{\text{on}}\approx 1{,}88\times10^{2}\\ \text{J} (aprox. 188{,}5\\ \text{J})\n
(c) T_{2}\approx 5{,}23\times10^{2}\\ \text{K} (aprox. 523\\ \text{K})

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