Ao encher o pneu de uma bicicleta, um litro de ar a pressão atmosférica é comprimido adiabaticamente a uma pressão de 7 atm . Considere que
(ar é em grande parte composto de
e
, portanto, moléculas diatômicas).
(a) Qual é o volume final do ar após a compressão?
(b) Quanto de trabalho é feito sobre o gás na compressão?
(c) Se a temperatura inicial do ar é
, qual é a temperatura final após a compressão?
(a) Qual é o volume final do ar após a compressão?
(b) Quanto de trabalho é feito sobre o gás na compressão?
(c) Se a temperatura inicial do ar é
Passo 1
O enunciado dá e pede o seguinte (listando tudo com calma):
- Dados fornecidos:
- Volume inicial:
. - Pressão inicial:
. - Pressão final:
. - Processo: adiabático (não entra nem sai calor).
- Razão adiabática:
. - Temperatura inicial (para a parte (c)):
.
- Volume inicial:
- O que o enunciado pede:
(a) o volume finalapós a compressão;
(b) o trabalho feito sobre o gás na compressão (valor em joules);
(c) a temperatura finaldepois da compressão.
Passo 2
Conceito e fórmula que vamos usar para (a): em um processo adiabático reversível para gás ideal vale a relação
Isto significa que entre os estados 1 e 2
Isolando
obtemos
Agora aplicamos os números dados. Primeiro mantenho as unidades coerentes para volume (posso trabalhar em litros enquanto as duas pressões estão em atm, porque a relação é de razão):
Vamos calcular a potência
. Usando logaritmos ou exponenciais:
Num cálculo numérico rápido:
Portanto
Se quiser em unidades SI (metro cúbico),
Passo 3
Agora (b): energia e trabalho num processo adiabático. Método: calcular o trabalho feito sobre o gás diretamente a partir da integral
(trabalho realizado pelo gás). Como queremos o trabalho feito sobre o gás, usamos
. Usando a lei adiabática
com
, fazemos a integral:
Substituindo
e rearranjando (fazendo algumas manipulações algébricas) chega-se à forma simples e muito usada:
Portanto o trabalho feito sobre o gás é
Observação sobre sinais: em compressão
e
pode ser maior que
, dando
— isto é, trabalho positivo feito sobre o gás, como esperado.
Vamos calcular numericamente. É conveniente calcular em unidades de
e depois converter para joules usando
Calculamos primeiro
e
em
:
Diferença:
Dividindo por
(lembre:
):
Convertendo para joules:
Arredondando com sentido físico: aproximadamente
(ou
com três algarismos significativos).
Passo 4
Parte (c): temperatura final
. Para processo adiabático reversível de gás ideal vale também
ou equivalentemente
Também se pode usar a forma com pressões:
Vou usar a forma em termos de pressão porque é curta:
Aqui
. Calculando
logo
Arredondando,
ou
.
Passo 5
Checagem física (opcional, mas útil para fixar): como o processo é adiabático sem troca de calor, a variação da energia interna é igual ao trabalho feito sobre o gás:
Podemos obter o número de mols iniciais a partir de
. Usando
,
,
,
:
Para gás diatômico
. Então
coincidindo com o valor do trabalho calculado — bom sinal de consistência.
Resposta
(a)
\n
(b) Trabalho feito sobre o gás (aprox.
)\n
(c) (aprox.
)
(b) Trabalho feito sobre o gás
(c)