Um gás ideal está em um recipiente cilíndrico isolado termicamente. Quando o volume ocupado pelo gás decresce por um fator 2 , sua temperatura aumenta por um fator 1,32.
a) Quantos termos quadráticos tem a energia por partícula deste gás?
b) O que você pode deduzir a respeito da natureza destas partículas?
a) Quantos termos quadráticos tem a energia por partícula deste gás?
b) O que você pode deduzir a respeito da natureza destas partículas?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e faz estas perguntas:
-
Informações fornecidas:
- O recipiente é termicamente isolado (ou seja, o processo é adiabático, sem troca de calor).
- O volume ocupado pelo gás decresce por um fator
. Sejam o volume inicial e o final, então . - A temperatura do gás aumenta por um fator
. Sejam a temperatura inicial e a final, então .
-
Perguntas:
- (a) Quantos termos quadráticos tem a energia por partícula deste gás? (ou seja, qual é o número de graus de liberdade quadráticos
que aparecem na energia por partícula?) - (b) O que se pode deduzir sobre a natureza dessas partículas a partir do valor de
?
- (a) Quantos termos quadráticos tem a energia por partícula deste gás? (ou seja, qual é o número de graus de liberdade quadráticos
Passo 2
Resumo das ferramentas físicas e matemáticas que vamos usar (com explicação didática):
-
Equipartição de energia (ideia e fórmula):
- A ideia: na descrição clássica, cada termo quadrático independente na energia de uma partícula contribui, em média, com
à energia (onde é a constante de Boltzmann e a temperatura). - Se a partícula tem
termos quadráticos independentes, a energia média por partícula é
- Aqui
é o número que queremos encontrar; exemplos típicos: uma partícula monoatômica tem (três componentes de velocidade translacional), uma diatômica clássica sem vibração tem (3 translações + 2 rotações), etc.
- A ideia: na descrição clássica, cada termo quadrático independente na energia de uma partícula contribui, em média, com
-
Coeficiente adiabático
e sua relação com : - Para um gás ideal clássico com
graus de liberdade quadráticos por partícula, as capacidades térmicas por partícula são:
- O coeficiente adiabático é
- Essa fórmula relaciona
diretamente a . Se conhecermos podemos obter por
- Para um gás ideal clássico com
-
Relação temperatura-volume para processo adiabático de gás ideal:
- Para um gás ideal em processo adiabático reversível vale
- Usando a equação de estado
(onde é o número de partículas), obtém-se
- Isso significa que entre dois estados
e relacionados adiabaticamente,
- Nesta equação todas as quantidades (
, , ) já estão bem definidas; vamos usá-la com os dados do enunciado para achar , e daí .
Passo 3
Aplicar a relação adiabática aos dados do enunciado:
- Substituindo
e na relação
temos
- Tomando logaritmo natural em ambos os lados para isolar
:
- Calculemos numericamente:
portanto
Logo
Passo 4
Determinar
a partir de
:
- Usando
substituímos
:
- Interpretação do resultado:
deve ser um número inteiro (número de termos quadráticos independentes). O valor obtido é muito próximo de , portanto concluímos que
Passo 5
O que esse
significa fisicamente (resposta à parte b) com explicação didática e contexto):
- Um gás com
tem, por partícula, cinco graus de liberdade quadráticos que contribuem à energia média. Isso tipicamente corresponde a moléculas diatômicas (em temperaturas onde os modos vibracionais não estão excitados): -
graus de liberdade translacionais (movimento nas três direções espaciais); -
graus de liberdade rotacionais (duas rotações independentes para uma molécula diatômica rígida; a rotação em torno do eixo internuclear geralmente contribui muito pouco por ter momento de inércia pequeno e, em muitos casos, é desprezível quântica/energeticamente).
-
- Portanto a dedução é que as partículas do gás são, muito provavelmente, moléculas diatômicas (por exemplo
, , , etc.), na faixa de temperatura em que as vibrações não participam da equipartição. Se a temperatura fosse alta o suficiente para excitar modos vibracionais, esperaríamos maior (p.ex. incluindo um modo vibracional por molécula diatômica), mas os dados mostram , consistente com o regime clássico usual para diatômicos.
Resposta
a)
b) Moléculas diatômicas (3 translações + 2 rotações).
b) Moléculas diatômicas (3 translações + 2 rotações).