Um gás ideal está em um recipiente cilíndrico isolado termicamente. Quando o volume ocupado pelo gás decresce por um fator 2 , sua temperatura aumenta por um fator 1,32.
a) Quantos termos quadráticos tem a energia por partícula deste gás?
b) O que você pode deduzir a respeito da natureza destas partículas?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e faz estas perguntas:
  • Informações fornecidas:
    • O recipiente é termicamente isolado (ou seja, o processo é adiabático, sem troca de calor).
    • O volume ocupado pelo gás decresce por um fator 2. Sejam V_i o volume inicial e V_f o final, então V_f=\dfrac{V_i}{2}.
    • A temperatura do gás aumenta por um fator 1,32. Sejam T_i a temperatura inicial e T_f a final, então T_f=1,32\,T_i.
  • Perguntas:
    • (a) Quantos termos quadráticos tem a energia por partícula deste gás? (ou seja, qual é o número de graus de liberdade quadráticos f que aparecem na energia por partícula?)
    • (b) O que se pode deduzir sobre a natureza dessas partículas a partir do valor de f?

Passo 2

Resumo das ferramentas físicas e matemáticas que vamos usar (com explicação didática):
  • Equipartição de energia (ideia e fórmula):
    • A ideia: na descrição clássica, cada termo quadrático independente na energia de uma partícula contribui, em média, com \tfrac{1}{2}k_B T à energia (onde k_B é a constante de Boltzmann e T a temperatura).
    • Se a partícula tem f termos quadráticos independentes, a energia média por partícula é
    \varepsilon = \frac{f}{2}\,k_B T.
    • Aqui f é o número que queremos encontrar; exemplos típicos: uma partícula monoatômica tem f=3 (três componentes de velocidade translacional), uma diatômica clássica sem vibração tem f=5 (3 translações + 2 rotações), etc.
  • Coeficiente adiabático \gamma e sua relação com f:
    • Para um gás ideal clássico com f graus de liberdade quadráticos por partícula, as capacidades térmicas por partícula são:
    C_V = \frac{f}{2}k_B,\qquad C_P = C_V + k_B = \left(\frac{f}{2}+1\right)k_B.
    • O coeficiente adiabático é
    \gamma \equiv \frac{C_P}{C_V} = \frac{\frac{f}{2}+1}{\frac{f}{2}} = 1+\frac{2}{f}.
    • Essa fórmula relaciona \gamma diretamente a f. Se conhecermos \gamma podemos obter f por
    f = \frac{2}{\gamma-1}.
  • Relação temperatura-volume para processo adiabático de gás ideal:
    • Para um gás ideal em processo adiabático reversível vale
    P V^{\gamma}=\text{constante}.
    • Usando a equação de estado P V = N k_B T (onde N é o número de partículas), obtém-se
    T V^{\gamma-1}=\text{constante}.
    • Isso significa que entre dois estados i e f relacionados adiabaticamente,
    \frac{T_f}{T_i}=\left(\frac{V_i}{V_f}\right)^{\gamma-1}.
    • Nesta equação todas as quantidades ( T, V, \gamma) já estão bem definidas; vamos usá-la com os dados do enunciado para achar \gamma, e daí f.

Passo 3

Aplicar a relação adiabática aos dados do enunciado:
  • Substituindo T_f/T_i=1,32 e V_i/V_f=2 na relação
\frac{T_f}{T_i}=\left(\frac{V_i}{V_f}\right)^{\gamma-1},
temos
1,32 = 2^{\,\gamma-1}.
  • Tomando logaritmo natural em ambos os lados para isolar \gamma-1:
\gamma-1 = \frac{\ln(1,32)}{\ln 2}.
  • Calculemos numericamente:
\ln(1,32)\approx 0,2776317,\qquad \ln 2\approx 0,6931472,
portanto
\gamma-1 \approx \frac{0,2776317}{0,6931472}\approx 0,400441.
Logo
\gamma \approx 1,400441\approx 1,400.

Passo 4

Determinar f a partir de \gamma:
  • Usando
f=\frac{2}{\gamma-1},
substituímos \gamma-1\approx 0,400441:
f \approx \frac{2}{0,400441}\approx 4,9955\approx 5.
  • Interpretação do resultado: f deve ser um número inteiro (número de termos quadráticos independentes). O valor obtido é muito próximo de 5, portanto concluímos que
f=5.

Passo 5

O que esse f=5 significa fisicamente (resposta à parte b) com explicação didática e contexto):
  • Um gás com f=5 tem, por partícula, cinco graus de liberdade quadráticos que contribuem à energia média. Isso tipicamente corresponde a moléculas diatômicas (em temperaturas onde os modos vibracionais não estão excitados):
    • 3 graus de liberdade translacionais (movimento nas três direções espaciais);
    • 2 graus de liberdade rotacionais (duas rotações independentes para uma molécula diatômica rígida; a rotação em torno do eixo internuclear geralmente contribui muito pouco por ter momento de inércia pequeno e, em muitos casos, é desprezível quântica/energeticamente).
  • Portanto a dedução é que as partículas do gás são, muito provavelmente, moléculas diatômicas (por exemplo \mathrm{N_2}, \mathrm{O_2}, \mathrm{CO}, etc.), na faixa de temperatura em que as vibrações não participam da equipartição. Se a temperatura fosse alta o suficiente para excitar modos vibracionais, esperaríamos f maior (p.ex. f=7 incluindo um modo vibracional por molécula diatômica), mas os dados mostram f=5, consistente com o regime clássico usual para diatômicos.

Resposta

a) 5
b) Moléculas diatômicas (3 translações + 2 rotações).

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