No binômio (x^3+1y^2)^25, escreva o termo x^9, calculando o respectivo coeficiente.
R 2.300 x^9y^44

Passo 1

Enunciado: Expandir o binômio (x^3 + 1y^2)^25. Conteúdo: Teorema do Binômio de Newton e fórmula do termo geral. Precisamos encontrar o termo que contém x^9 e calcular seu coeficiente.

Passo 2

Pela Binomial de Newton, o termo geral T(k) de (a+b)^n é dado por binomnka^n-kb^k. Aqui temos a = x^3, b = tfrac1y^2 e n = 25. Logo:
T(k) = binom25k(x^3)^25-k(1y^2)^k

Passo 3

Simplificando as potências:
T(k) = binom25kx^3(25-k)y^-2k
Queremos o expoente de x igual a 9. Então:
3(25-k) = 9 Longrightarrow 75 - 3k = 9 Longrightarrow k = 22

Passo 4

Substituindo k = 22 em T(k): o expoente de y é -2times22 = -44 e o coeficiente é
binom2522 = binom253 = 25cdot24cdot233cdot2cdot1 = 2300
Portanto o termo procurado é
2300,x^9,y^-44 = 2300x^9y^44

Resposta

2300x^9y^44

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