Listamos explicitamente os dados (os três \mathbf{v}_i e o vector alvo) e a pergunta (existe (a,b,c) que satisfaça essa igualdade).
Passo 2
O que significa “escrever como combinação linear”: queremos achar \;a,b,c\in\mathbb{R}\;\) tais que cada componente resulte da soma apropriada. Escrevendo componente a componente temos o sistema linear
\[\begin{cases} 2a+3b-1c = 1,\\[4pt] 1a-1b+0c = 1,\\[4pt] 0a+5b+2c = 1,\\[4pt] 3a+2b+1c = 1. \end{cases}
Aqui cada linha corresponde a uma coordenada do vector no lado direito. As incógnitas são (;a,b,c;].]
Passo 3
Vamos montar a matriz aumentada do sistema para resolver por eliminação (esquema prático na prova):
Operações elementares que podemos usar: trocar linhas, somar múltiplos de uma linha a outra, multiplicar uma linha por constante não nula. O objetivo é reduzir a matriz para chegar a equações simples (escalonamento).]
Passo 4
Primeiro colocamos um pivô conveniente na primeira linha trocando \mathrm{R}_1 com \mathrm{R}_2 (porque \mathrm{R}_2 tem 1 na primeira coluna):
Eliminamos as entradas abaixo do pivô da primeira coluna: \mathrm{R}_2 \leftarrow \mathrm{R}_2 - 2\mathrm{R}_1 e \mathrm{R}_4 \leftarrow \mathrm{R}_4 - 3\mathrm{R}_1.
Cálculo linha a linha:
Agora escolhemos \mathrm{R}_2 como pivô na segunda coluna: \mathrm{R}_2=(0,5,-1,-1). Eliminamos a segunda coluna nas linhas 3 e 4: \mathrm{R}_3 \leftarrow \mathrm{R}_3 - \mathrm{R}_2 e \mathrm{R}_4 \leftarrow \mathrm{R}_4 - \mathrm{R}_2.
Agora olhamos para as duas últimas linhas que só envolvem a incógnita c:
da terceira linha temos
3c = 2 \quad\Longrightarrow\quad c=\frac{2}{3}.
da quarta linha temos
2c = -1 \quad\Longrightarrow\quad c=-\frac{1}{2}.
Passo 8
As duas equações para c dão valores diferentes (c=\tfrac{2}{3} e c=-\tfrac{1}{2}), isto é uma contradição. Em termos de eliminação, essa contradição indica que o sistema é inconsistente — não existe (a,b,c) que satisfaça todas as equações simultaneamente.
Passo 9
Interpretação final (dica para prova): três vectores em \mathbb{R}^4 geram no máximo um subespaço de dimensão 3, logo não geram necessariamente todo \mathbb{R}^4. Aqui encontramos explicitamente uma incompatibilidade nas equações, então o vector alvo não pertence ao subespaço gerado por \mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\mathbf{v}_3.
Resposta
Não — o vector \begin{pmatrix}1\\\ 1\\\ 1\\\ 1\end{pmatrix} não pode ser escrito como combinação linear de \mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\mathbf{v}_3.