Quais dos seguintes vectores podem ser escritos como combinação linear de
\mathbf{v}_{1}, \mathbf{v}_{2}, \mathbf{v}_{3}, onde
\mathbf{v}_{1}=\left[\begin{array}{l} 2 \\\\ 1 \\\\ 0 \\\\ 3 \end{array}\right], \quad \mathbf{v}_{2}=\left[\begin{array}{c} 3 \\\\ -1 \\\\ 5 \\\\ 2 \end{array}\right], \quad \mathbf{v}_{3}=\left[\begin{array}{c} -1 \\\\ 0 \\\\ 2 \\\\ 1 \end{array}\right] .
\left[\begin{array}{l}1 \\\\ 1 \\\\ 1 \\\\ 1\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado dá três vectores
\mathbf{v}_{1}=\begin{pmatrix}2\\\ 1\\\ 0\\\ 3\end{pmatrix},\qquad \mathbf{v}_{2}=\begin{pmatrix}3\\\ -1\\\ 5\\\ 2\end{pmatrix},\qquad \mathbf{v}_{3}=\begin{pmatrix}-1\\\ 0\\\ 2\\\ 1\end{pmatrix}
e pede se o vector
\begin{pmatrix}1\\\ 1\\\ 1\\\ 1\end{pmatrix}
pode ser escrito como combinação linear de \mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\mathbf{v}_3.
Ou seja: existem escalares \;a,b,c\; tais que
a\mathbf{v}_1+b\mathbf{v}_2+c\mathbf{v}_3=\begin{pmatrix}1\\\ 1\\\ 1\\\ 1\end{pmatrix} ?
Listamos explicitamente os dados (os três \mathbf{v}_i e o vector alvo) e a pergunta (existe (a,b,c) que satisfaça essa igualdade).

Passo 2

O que significa “escrever como combinação linear”: queremos achar \;a,b,c\in\mathbb{R}\;\) tais que cada componente resulte da soma apropriada. Escrevendo componente a componente temos o sistema linear \[\begin{cases} 2a+3b-1c = 1,\\[4pt] 1a-1b+0c = 1,\\[4pt] 0a+5b+2c = 1,\\[4pt] 3a+2b+1c = 1. \end{cases}
Aqui cada linha corresponde a uma coordenada do vector no lado direito. As incógnitas são (;a,b,c;].]

Passo 3

Vamos montar a matriz aumentada do sistema para resolver por eliminação (esquema prático na prova):
\left[\begin{array}{ccc|c} 2 & 3 & -1 & 1\\[4pt] 1 & -1 & 0 & 1\\[4pt] 0 & 5 & 2 & 1\\[4pt] 3 & 2 & 1 & 1 \end{array}\right].
Operações elementares que podemos usar: trocar linhas, somar múltiplos de uma linha a outra, multiplicar uma linha por constante não nula. O objetivo é reduzir a matriz para chegar a equações simples (escalonamento).]

Passo 4

Primeiro colocamos um pivô conveniente na primeira linha trocando \mathrm{R}_1 com \mathrm{R}_2 (porque \mathrm{R}_2 tem 1 na primeira coluna):
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & -1 & 0 & 1\\[4pt] 2 & 3 & -1 & 1\\[4pt] 0 & 5 & 2 & 1\\[4pt] 3 & 2 & 1 & 1 \end{array}\right].]

Passo 5

Eliminamos as entradas abaixo do pivô da primeira coluna:
\mathrm{R}_2 \leftarrow \mathrm{R}_2 - 2\mathrm{R}_1 e \mathrm{R}_4 \leftarrow \mathrm{R}_4 - 3\mathrm{R}_1.
Cálculo linha a linha:
  • \mathrm{R}_2: (2,3,-1,1) -2\cdot(1,-1,0,1) = (0,5,-1,-1).
  • \mathrm{R}_4: (3,2,1,1) -3\cdot(1,-1,0,1) = (0,5,1,-2).
A matriz fica
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & -1 & 0 & 1\\[4pt] 0 & 5 & -1 & -1\\[4pt] 0 & 5 & 2 & 1\\[4pt] 0 & 5 & 1 & -2 \end{array}\right].]

Passo 6

Agora escolhemos \mathrm{R}_2 como pivô na segunda coluna: \mathrm{R}_2=(0,5,-1,-1). Eliminamos a segunda coluna nas linhas 3 e 4:
\mathrm{R}_3 \leftarrow \mathrm{R}_3 - \mathrm{R}_2 e \mathrm{R}_4 \leftarrow \mathrm{R}_4 - \mathrm{R}_2.
Cálculos:
  • \mathrm{R}_3: (0,5,2,1) - (0,5,-1,-1) = (0,0,3,2).
  • \mathrm{R}_4: (0,5,1,-2) - (0,5,-1,-1) = (0,0,2,-1).
A matriz escalonada fica
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & -1 & 0 & 1\\[4pt] 0 & 5 & -1 & -1\\[4pt] 0 & 0 & 3 & 2\\[4pt] 0 & 0 & 2 & -1 \end{array}\right].]

Passo 7

Agora olhamos para as duas últimas linhas que só envolvem a incógnita c:
da terceira linha temos
3c = 2 \quad\Longrightarrow\quad c=\frac{2}{3}.
da quarta linha temos
2c = -1 \quad\Longrightarrow\quad c=-\frac{1}{2}.

Passo 8

As duas equações para c dão valores diferentes ( c=\tfrac{2}{3} e c=-\tfrac{1}{2}), isto é uma contradição. Em termos de eliminação, essa contradição indica que o sistema é inconsistente — não existe (a,b,c) que satisfaça todas as equações simultaneamente.

Passo 9

Interpretação final (dica para prova): três vectores em \mathbb{R}^4 geram no máximo um subespaço de dimensão 3, logo não geram necessariamente todo \mathbb{R}^4. Aqui encontramos explicitamente uma incompatibilidade nas equações, então o vector alvo não pertence ao subespaço gerado por \mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\mathbf{v}_3.

Resposta

Não — o vector \begin{pmatrix}1\\\ 1\\\ 1\\\ 1\end{pmatrix} não pode ser escrito como combinação linear de \mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\mathbf{v}_3.

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