Encontra equação cartesiana da curvas parametrizadas abaixo:
Passo 1
O enunciado dá a curva paramétrica
x(t)=2,sec(t)+1 e y(t)=4,tan(t)+2 para t em (-π/2,π/2). O conteúdo aqui é transformação de curva trigonométrica para forma cartesiana, e vamos precisar da identidade trigonométrica sec²(t) – tan²(t) = 1.
x(t)=2,sec(t)+1 e y(t)=4,tan(t)+2 para t em (-π/2,π/2). O conteúdo aqui é transformação de curva trigonométrica para forma cartesiana, e vamos precisar da identidade trigonométrica sec²(t) – tan²(t) = 1.
Passo 2
Isolamos as funções trigonométricas a partir das equações dadas. Subtraindo 1 de x(t) e dividindo por 2, obtemos
De maneira análoga, subtraindo 2 de y(t) e dividindo por 4, temos
Passo 3
Aplicamos a identidade trigonométrica
Substituindo as expressões encontradas, fica
Passo 4
Por fim, simplificamos a expressão para obter a forma típica de uma hipérbole. Multiplicando ambos os lados por 16, temos
ou seja
Resposta
A equação cartesiana é