Encontra equação cartesiana da curvas parametrizadas abaixo:
x(t)=2 sec (t)+1 y(t)=4 t g(t)+2 t in(-pi / 2, pi / 2)

Passo 1

O enunciado dá a curva paramétrica
x(t)=2,sec(t)+1 e y(t)=4,tan(t)+2 para t em (-π/2,π/2). O conteúdo aqui é transformação de curva trigonométrica para forma cartesiana, e vamos precisar da identidade trigonométrica sec²(t) – tan²(t) = 1.

Passo 2

Isolamos as funções trigonométricas a partir das equações dadas. Subtraindo 1 de x(t) e dividindo por 2, obtemos
sec(t)=x-12
De maneira análoga, subtraindo 2 de y(t) e dividindo por 4, temos
tan(t)=y-24

Passo 3

Aplicamos a identidade trigonométrica
sec^2(t)-tan^2(t)=1
Substituindo as expressões encontradas, fica
l(x-12r)^2-l(y-24r)^2=1

Passo 4

Por fim, simplificamos a expressão para obter a forma típica de uma hipérbole. Multiplicando ambos os lados por 16, temos
4(x-1)^2-(y-2)^2=16,
ou seja
(x-1)^24-(y-2)^216=1

Resposta

A equação cartesiana é
(x-1)^24-(y-2)^216=1

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