Nos problemas abaixo, resolva cada equação diferencial pelo método da variação dos parâmetros. Defina um intervalo no qual a solução geral seja válida.
e)
;
e)
Passo 1
Temos a EDO
É uma equação linear de segunda ordem com coeficientes constantes e termo não homogêneo. Vamos resolver pelo método da variação de parâmetros.
Passo 2
A equação homogênea associada é
O polinômio característico é
, com raiz dupla
. Logo as soluções fundamentais são
Passo 3
Calculamos o Wronskiano
Passo 4
Pela variação de parâmetros escrevemos a solução particular como
onde
e
.
Passo 5
Substituindo
nas fórmulas:
Passo 6
Integramos para obter
Essas integrais não têm primitiva elementar, mas podem ser expressas em termos da função integral exponencial
.
Passo 7
A solução geral fica
Passo 8
Como
e a integral de
exigem
, a solução geral é válida em qualquer intervalo contido em
.