Nos problemas abaixo, resolva cada equação diferencial pelo método da variação dos parâmetros. Defina um intervalo no qual a solução geral seja válida.
e) y^prime prime-2 y^prime+y=e^-x ln x;

Passo 1

Temos a EDO
y'' - 2y' + y = e^-xln x
É uma equação linear de segunda ordem com coeficientes constantes e termo não homogêneo. Vamos resolver pelo método da variação de parâmetros.

Passo 2

A equação homogênea associada é
y'' - 2y' + y = 0
O polinômio característico é r^2-2r+1=(r-1)^2, com raiz dupla r=1. Logo as soluções fundamentais são
y1(x)=e^x,
y2(x)=x e^x

Passo 3

Calculamos o Wronskiano

Passo 4

Pela variação de parâmetros escrevemos a solução particular como
yp(x)=u1(x)y1(x)+u2(x)y2(x)
onde
u1'=-y2(x),g(x)W(x),
u2'=y1(x),g(x)W(x),
e g(x)=e^-xln x.

Passo 5

Substituindo y1,y2,g,W nas fórmulas:
u1'(x)=-x e^xcdot e^-xln xe^2x=-xln x,e^-2x,
u2'(x)=e^xcdot e^-xln xe^2x=ln x,e^-2x

Passo 6

Integramos para obter
u1(x)=-integral xln x,e^-2x,dx,
u2(x)=integral ln x,e^-2x,dx
Essas integrais não têm primitiva elementar, mas podem ser expressas em termos da função integral exponencial E1(2x).

Passo 7

A solução geral fica
y(x)=C1e^x+C2x e^x-e^xintegral xln x,e^-2x,dx+x e^xintegral ln x,e^-2x,dx

Passo 8

Como ln x e a integral de e^-2x/x exigem x>0, a solução geral é válida em qualquer intervalo contido em (0,infty).

Resposta

y(x)=C1e^x+C2x e^x-e^xintegral xln x,e^-2x,dx+x e^xintegral ln x,e^-2x,dx, x>0

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