Encontra equação cartesiana da curvas parametrizadas abaixo:
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos duas equações paramétricas que descrevem uma curva:
Nosso objetivo é encontrar a equação cartesiana dessa curva, ou seja, uma relação direta entre
e
sem o parâmetro
. Para isso, vamos usar o conteúdo de funções hiperbólicas e técnicas de eliminação de parâmetros.
Passo 2
Vamos começar isolando o parâmetro
em uma das equações. Vamos escolher a equação de
:
Para isolar , adicionamos 1 a ambos os lados:
Passo 3
Agora, precisamos lembrar da identidade hiperbólica fundamental:
Essa identidade nos ajudará a relacionar
e sem o parâmetro
.
Passo 4
Substituímos pela expressão que encontramos:
Simplificando, temos:
Passo 5
Voltamos à equação de
:
Isolamos
:
Como
é sempre positivo, podemos eliminar o
:
Passo 6
Elevamos ambos os lados ao quadrado:
Substituímos na identidade hiperbólica que encontramos:
Passo 7
Agora, multiplicamos ambos os lados por 4 para eliminar o denominador:
Passo 8
Finalmente, reescrevemos a equação para deixá-la em termos de
e
:
Resposta
A equação cartesiana da curva parametrizada é: