Encontra equação cartesiana da curvas parametrizadas abaixo:
x(t)= pm 2 cosh (t)-1 y(t)=senh(t)-1 t in R

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos duas equações paramétricas que descrevem uma curva:
x(t) = pm 2 cosh(t) - 1
Nosso objetivo é encontrar a equação cartesiana dessa curva, ou seja, uma relação direta entre y(t) = senh(t) - 1 e sem o parâmetro . Para isso, vamos usar o conteúdo de funções hiperbólicas e técnicas de eliminação de parâmetros.

Passo 2

Vamos começar isolando o parâmetro y = senh(t) - 1 em uma das equações. Vamos escolher a equação de y + 1 = senh(t) :
Para isolar , adicionamos 1 a ambos os lados:

Passo 3

Agora, precisamos lembrar da identidade hiperbólica fundamental:
Essa identidade nos ajudará a relacionar cosh^2(t) - senh^2(t) = 1 e sem o parâmetro .

Passo 4

Substituímos pela expressão que encontramos:
cosh^2(t) - (y + 1)^2 = 1
Simplificando, temos:
cosh^2(t) = (y + 1)^2 + 1

Passo 5

Voltamos à equação de x = pm 2 cosh(t) - 1 :
cosh(t) = x + 1pm 2
Isolamos cosh(t) = x + 12 :
Como é sempre positivo, podemos eliminar o :

Passo 6

Elevamos ambos os lados ao quadrado:
cosh^2(t) = (x + 12)^2
Substituímos na identidade hiperbólica que encontramos:
(x + 12)^2 = (y + 1)^2 + 1

Passo 7

Agora, multiplicamos ambos os lados por 4 para eliminar o denominador:
(x + 1)^2 = 4(y + 1)^2 + 4

Passo 8

Finalmente, reescrevemos a equação para deixá-la em termos de (x + 1)^2 - 4(y + 1)^2 = 4 e :

Resposta

A equação cartesiana da curva parametrizada é:
(x + 1)^2 - 4(y + 1)^2 = 4

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