Encontra a solução geral
y^prime prime+8 y+16=0

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial de segunda ordem com coeficientes constantes e termo não homogêneo: y'' + 8y + 16 = 0. Vamos precisar separar em parte homogênea e particular para aplicar o método clássico de equações lineares.

Passo 2

Primeiro, resolvemos a equação homogênea associada y'' + 8y = 0. A característica é dada por:
r^2 + 8 = 0
Logo,
r = pm 2raiz2,i
Isso gera a solução homogênea
yh(x) = C1 cosl(2raiz2,xr) + C2 sinl(2raiz2,xr)

Passo 3

Agora encontramos uma solução particular yp. Como o termo não homogêneo é constante, tentamos yp = A, com A constante. Substituindo em y'' + 8y + 16 = 0 temos:
0 + 8A + 16 = 0
Logo
A = -2
Assim, yp = -2.

Passo 4

A solução geral é a soma da homogênea com a particular. Portanto:
y(x) = yh(x) + yp = C1 cosl(2raiz2,xr) + C2 sinl(2raiz2,xr) - 2

Resposta

y(x)=C1cosl(2raiz2,xr)+C2sinl(2raiz2,xr)-2

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