Um recipiente cilíndrico de 6 metros de altura e cujo raio da base é igual a 4 metros encontra-se cheio de água. Utilize os conhecimentós obtidos ao longo da disciplina para determinar o tempo necessário para que toda água seja drenada do recipiente através de um orifício de 112 metros que exite no fundo do referido recipiente? of =9.8 m / s^2

Passo 1

O enunciado pede o tempo de esvaziamento de um recipiente cilíndrico (altura H=6 m, raio R=4 m) por um orifício de diâmetro d=1/12 m, usando g=9.8 m/s². O conteúdo principal é descarga de tanque por pequeno orifício (Teorema de Torricelli e equação diferencial de continuidade). Vamos precisar: área do tanque A, área do orifício a, velocidade de saída v(h)=√(2gh) e montar a ODE para h(t).

Passo 2

Aplicar o Teorema de Torricelli para obter a velocidade de saída v em função da altura h da coluna de água. Pela energia (Bernoulli simplificado), temos a cada instante h(t):
v(h)=raiz2gh
Isso nos dá a vazão volumétrica
Q(h)=a,v(h)=a,raiz2gh
onde a=pil(tfracd2r)^2 é a área do orifício.

Passo 3

Escrever a equação de continuidade relacionando a variação de volume do cilindro com a vazão de saída. O volume de água no tanque é V(t)=A,h(t), onde A=pi R^2. Assim:
dVdt=Adhdt=-Q(h)=-araiz2gh

Passo 4

Isolar dh/dt e separar variáveis para integrar. Temos:
Adhdt=-araiz2g,raizh
de onde
dhraizh=-araiz2gA,dt

Passo 5

Integrar ambos os lados entre o instante inicial (altura h=H) e o instante final (altura h=0). No lado esquerdo:
integralH^0h^-1/2,dh=2l(raiz0-raizHr)=-2raizH
No lado direito:
-araiz2gAintegral0^Tdt=-araiz2gA,T

Passo 6

Igualar as integrais para encontrar o tempo total T:
-2raizH=-araiz2gA,T
Logo:
T=2AraizHaraiz2g

Passo 7

Calcular numericamente as áreas e substituir os valores numéricos. Temos:
A=pi R^2=picdot4^2=16pi
a=pil(d2r)^2=pil(1/122r)^2=pil(124r)^2=pi576
Substituindo em
T=2,(16pi),raiz6(pi/576),raiz2cdot9.8=32,pi,raiz6(pi/576),raiz19.6=32times576,raiz6raiz19.6

Passo 8

Fazer a conta final:
32times576=18432
raiz6approx2.44949eraiz19.6approx4.42719
Tapprox18432times2.449494.42719approx10198 s
Convertendo para horas:
10198,/3600approx2.83 h (aprox 2 h 50 min)

Resposta

O tempo necessário para esvaziar completamente o cilindro é de aproximadamente 1,02×10^4 s (cerca de 2 h e 50 min).

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