Um recipiente cilíndrico de 6 metros de altura e cujo raio da base é igual a 4 metros encontra-se cheio de água. Utilize os conhecimentós obtidos ao longo da disciplina para determinar o tempo necessário para que toda água seja drenada do recipiente através de um orifício de
metros que exite no fundo do referido recipiente?
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Passo 1
O enunciado pede o tempo de esvaziamento de um recipiente cilíndrico (altura H=6 m, raio R=4 m) por um orifício de diâmetro d=1/12 m, usando g=9.8 m/s². O conteúdo principal é descarga de tanque por pequeno orifício (Teorema de Torricelli e equação diferencial de continuidade). Vamos precisar: área do tanque A, área do orifício a, velocidade de saída v(h)=√(2gh) e montar a ODE para h(t).
Passo 2
Aplicar o Teorema de Torricelli para obter a velocidade de saída v em função da altura h da coluna de água. Pela energia (Bernoulli simplificado), temos a cada instante
:
Isso nos dá a vazão volumétrica
onde
é a área do orifício.
Passo 3
Escrever a equação de continuidade relacionando a variação de volume do cilindro com a vazão de saída. O volume de água no tanque é
, onde
. Assim:
Passo 4
Isolar
e separar variáveis para integrar. Temos:
de onde
Passo 5
Integrar ambos os lados entre o instante inicial (altura
) e o instante final (altura
). No lado esquerdo:
No lado direito:
Passo 6
Igualar as integrais para encontrar o tempo total
:
Logo:
Passo 7
Calcular numericamente as áreas e substituir os valores numéricos. Temos:
Substituindo em
Passo 8
Fazer a conta final:
Convertendo para horas:
Resposta
O tempo necessário para esvaziar completamente o cilindro é de aproximadamente 1,02×10^4 s (cerca de 2 h e 50 min).