Encontra a solução dos problemas de valor inicial abaixo:
© x^2 y^prime prime+3 x y^prime=5 y=0, y(1)=1 e y^prime(1)=-1 Res: y(x)=x^-1 cos (2 ln x).

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial da equação de Cauchy–Euler de segunda ordem
x^2y''+3xy'+5y=0
com as condições y(1)=1 e y'(1)=-1.
O conteúdo da matéria é equação de Euler e vamos precisar assumir y=x^r para transformar em uma equação algébrica.

Passo 2

Assumimos y=x^r. Calculando as derivadas:
y'=r x^r-1,
y''=r(r-1)x^r-2
Substituindo na equação original:

Passo 3

Colocando as derivadas em x^2y''+3xy'+5y=0 obtemos
x^2igl(r(r-1)x^r-2r)+3xl(r x^r-1r)+5x^r=0
Fatorando x^r (que nunca é zero), chega-se à equação característica:
r(r-1)+3r+5=0

Passo 4

Resolvendo a equação característica:
r^2-r+3r+5=0
r^2+2r+5=0
O discriminante é De, então as raízes são complexas:
r=-1pm2,i
Isso dá a solução geral da forma de Euler:
y(x)=x^-1l(C1cos(2ln x)+C2sin(2ln x)r)

Passo 5

Agora aplicamos as condições iniciais. Primeiro y(1)=1:
Quando x=1, ln1=0, cos0=1, sin0=0, então y(1)=1^-1(C1cdot1+C2cdot0)=C1=1
Depois calculamos y'. Usando y=x^-1u(ln x) e regra do produto e cadeia, chega-se a y'(1)=2C2-C1
Como y'(1)=-1 e já temos C1=1, vem 2C2-1=-1 de onde C2=0

Resposta

y(x)=x^-1cosl(2ln xr).

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