Encontra a solução dos problemas de valor inicial abaixo:
©
e
Res:
.
©
Passo 1
O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial da equação de Cauchy–Euler de segunda ordem
com as condições
O conteúdo da matéria é equação de Euler e vamos precisar assumir
Passo 2
Assumimos
. Calculando as derivadas:
Substituindo na equação original:
Passo 3
Colocando as derivadas em
obtemos
Fatorando
Passo 4
Resolvendo a equação característica:
O discriminante é
Isso dá a solução geral da forma de Euler:
Passo 5
Agora aplicamos as condições iniciais. Primeiro
:
Quando ,
,
,
, então
Depois calculamos . Usando
e regra do produto e cadeia, chega-se a
Como e já temos
, vem
de onde
Quando
Depois calculamos
Como