A equação
onde
é uma constante maior que -1 , e conhecida como equação de Legendre. Esta equação é extremamente importante em física matemática, aparecendo em muitos problemas tridimensionais com simetria esférica - e.g. esfera eletricamente carregada, solução do átomo de hidrogênio, campo gravitacional exterior a uma estrela, etc.
(f) Mostre que, para
o polinômio correspondente é dado por
Esta fórmula é conhecida como fórmula de Rodrigues, e é válida para todos os inteiros positivos n.
(f) Mostre que, para
Passo 1
O enunciado pede para mostrar, usando a fórmula de Rodrigues, que para n=0,1,2,3 os polinômios de Legendre são dados por
Vamos aplicar essa fórmula diretamente, calculando a derivada de ordem n de
e dividindo por
para cada n.
Passo 2
Para n=0 temos que não precisamos derivar (derivada de ordem zero é a própria função). Logo:
Passo 3
Para n=1 aplicamos a derivada de primeira ordem:
e então
Passo 4
Para n=2 expandimos e derivamos duas vezes:
Dividindo por
, resulta:
Passo 5
Para n=3 fazemos três derivações de
Primeira derivada:
segunda:
terceira:
Como
, obtemos:
Passo 6
Concluímos que, de fato, a fórmula de Rodrigues gera para n=0,1,2,3 exatamente os polinômios de Legendre padrão.
Resposta
Para n=0,1,2,3 obtém-se:
P_0(x)=1,
P_1(x)=x,
P_2(x)=\frac{3x^2-1}{2},
P_3(x)=\frac{5x^3-3x}{2}.
P_1(x)=x,
P_2(x)=\frac{3x^2-1}{2},
P_3(x)=\frac{5x^3-3x}{2}.