A equação
(1-x^2) y^prime prime-2 x y^prime+alpha(alpha+1) y=0
onde alpha é uma constante maior que -1 , e conhecida como equação de Legendre. Esta equação é extremamente importante em física matemática, aparecendo em muitos problemas tridimensionais com simetria esférica - e.g. esfera eletricamente carregada, solução do átomo de hidrogênio, campo gravitacional exterior a uma estrela, etc.
(f) Mostre que, para n=0,1,2,3 o polinômio correspondente é dado por
Pn(x)=12^n n! d^nd x^n[(x^2-1)^n]
Esta fórmula é conhecida como fórmula de Rodrigues, e é válida para todos os inteiros positivos n.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar, usando a fórmula de Rodrigues, que para n=0,1,2,3 os polinômios de Legendre são dados por
Pn(x)=12^n,n!,d^ndx^nl[(x^2-1)^nr]
Vamos aplicar essa fórmula diretamente, calculando a derivada de ordem n de (x^2-1)^n e dividindo por 2^n n! para cada n.

Passo 2

Para n=0 temos que não precisamos derivar (derivada de ordem zero é a própria função). Logo:
P0(x)=12^0,0!,(x^2-1)^0=1

Passo 3

Para n=1 aplicamos a derivada de primeira ordem:
(x^2-1)^1=x^2-1,
ddx(x^2-1)=2x,
e então
P1(x)=12^1,1!,2x= x

Passo 4

Para n=2 expandimos e derivamos duas vezes:
(x^2-1)^2=x^4-2x^2+1,
ddx(x^4-2x^2+1)=4x^3-4x,
d^2dx^2(x^4-2x^2+1)=12x^2-4
Dividindo por 2^2,2!=4cdot2=8, resulta:
P2(x)=12x^2-48=3x^2-12

Passo 5

Para n=3 fazemos três derivações de
(x^2-1)^3=x^6-3x^4+3x^2-1
Primeira derivada:
6x^5-12x^3+6x,
segunda:
30x^4-36x^2+6,
terceira:
120x^3-72x
Como 2^3,3!=8cdot6=48, obtemos:
P3(x)=120x^3-72x48=5x^3-3x2

Passo 6

Concluímos que, de fato, a fórmula de Rodrigues gera para n=0,1,2,3 exatamente os polinômios de Legendre padrão.

Resposta

Para n=0,1,2,3 obtém-se:
P_0(x)=1,
P_1(x)=x,
P_2(x)=\frac{3x^2-1}{2},
P_3(x)=\frac{5x^3-3x}{2}.

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