Encontra a solução dos problemas de valor inicial abaixo:
(a) 2 x^2 y^prime prime+x y^prime-3 y=0, y(1)=1 e y^prime(1)=4 Res: y(x)=2 x^3 / 2-x^-1.

Passo 1

Enunciado: temos a equação diferencial de Euler–Cauchy
2x^2y'' + x y' - 3y = 0
com condições iniciais y(1)=1 e y'(1)=4. Para resolver, vamos usar o método de equação de Euler, que supõe uma solução da forma y = x^m.

Passo 2

No método de Euler, supomos y = x^m. Então derivamos e temos
y' = m x^m-1, y'' = m(m-1)x^m-2
Substituindo na equação diferencial, obtemos a equação característica:
2m(m-1) + m - 3 = 0

Passo 3

A equação característica pode ser reescrita como
2m^2 - m - 3 = 0
Resolvendo-a, usamos a fórmula de Bhaskara e obtém-se
m = 1 pm raiz1 + 244 = 1 pm 54,
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m1 = tfrac32, m2 = -1

Passo 4

A solução geral da equação é
y(x) = C1 x^3/2 + C2 x^-1
Derivando, temos
y'(x) = tfrac32C1 x^1/2 - C2 x^-2
Aplicando as condições iniciais em x=1, montamos o sistema
C1 + C2 = 1, tfrac32C1 - C2 = 4
Resolvendo-o, encontramos
C1 = 2, C2 = -1

Resposta

y(x) = 2x^{3/2} - x^{-1}

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