A equação
x y^prime prime+(1-x) y^prime+lambda y=0
onde lambda é uma constante, é conhecida como equação de Laguerre. Essa equação surge em problemas de física matemática, como na descrição da parte radial do átomo de hidrogênio.
(b) Encontre uma solução para x>0. Res: y1(x)=1+(-lambda)(1!)^2 x+(-lambda)(1-lambda)(2!)^2 x^2+ldots+(-lambda)(1-lambda) ldots(n-1-lambda)(n!)^2 x^n+

Passo 1

A gente tem a equação de Laguerre x y''+(1-x)y'+lambda y=0, e quer uma solução em série para x>0. O método que vamos usar é o de séries de Frobenius, onde assumimos y=sumn=0^infty an x^n+r. Vamos precisar achar primeiro o expoente inicial r (equação indicial) e depois a relação de recorrência para os an.

Passo 2

Substituímos y=sumn=0^infty an x^n+r em cada termo da equação. Para x y'' e (1-x)y' reorganizamos as potências de x para que todas fiquem em x^n+r. Ao coletar os coeficientes de x^r-1, surge a equação indicial
a0l[r(r-1)+rr]=a0r^2=0,
o que dá raiz dupla r=0. Então a solução não terá fator extra em x^r, ficamos com r=0.

Passo 3

Agora, ao coletar os coeficientes de x^n (com r=0), obtemos a relação
an+1(n+1)^2 + anl(lambda - nr)=0,
isto é
an+1=n-lambda(n+1)^2,an

Passo 4

A partir dessa recorrência e tomando a0=1, vemos que
an=(0-lambda)(1-lambda)cdots(n-1-lambda)(n!)^2

Resposta

A solução em série para x>0 é
y1(x)=sumn=0^infty (-lambda)(1-lambda)cdots(n-1-lambda)(n!)^2,x^n

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