A equação
onde
é uma constante, é conhecida como equação de Laguerre. Essa equação surge em problemas de física matemática, como na descrição da parte radial do átomo de hidrogênio.
(b) Encontre uma solução para
. Res:
…
(b) Encontre uma solução para
Passo 1
A gente tem a equação de Laguerre
, e quer uma solução em série para
. O método que vamos usar é o de séries de Frobenius, onde assumimos
. Vamos precisar achar primeiro o expoente inicial
(equação indicial) e depois a relação de recorrência para os
.
Passo 2
Substituímos
em cada termo da equação. Para
e
reorganizamos as potências de
para que todas fiquem em
. Ao coletar os coeficientes de
, surge a equação indicial
o que dá raiz dupla
Passo 3
Agora, ao coletar os coeficientes de
(com
), obtemos a relação
isto é
Passo 4
A partir dessa recorrência e tomando
, vemos que
Resposta
A solução em série para
é