O método de soluções em série pode ser facilmente adaptado para resolver EDOs não homogêmeas cuja a parte não homogênea é polinomial. Resolva as EDOs abaixo via série de potências e depois compare com os métodos aprendidos anteriormente (para a comparação use a expansão em série de Taylor).
(a)
em torno de
Res:
.
(a)
Passo 1
O enunciado pede para resolver a EDO não homogênea
por série de potências em torno de
e depois comparar com o método clássico via expansão em Taylor. Vamos usar o método de séries: supor uma expansão para
, obter relação de recorrência para os coeficientes e, ao final, confrontar com a solução obtida por fator integrante e sua série de Taylor.
Passo 2
Assumimos
Então
Passo 3
Substituindo na EDO:
onde
Passo 4
Para
temos
e então
. Para
aparece
e
$$a_3=\frac{a_2+1}{3}.
$$
Cálculo inicial: ,
,
. A parte homogênea gera
. A parte particular satisfaz
e
, levando a
para
.
Cálculo inicial:
Passo 5
Logo
$$y(x)=\sum_{n=0}^\infty a_nxn=a_0\sum_{n=0}\infty\frac{xn}{n!}+2\sum_{n=3}\infty\frac{x^n}{n!}.
$$
Passo 6
Pelo método clássico (fator integrante) encontramos a solução fechada
$$y(x)=Cex-(x2+2x+2).
$$
Vemos que a expansão coincide exatamente com o resultado pelo método de séries de potências.
Vemos que a expansão coincide exatamente com o resultado pelo método de séries de potências.
Passo 7
As duas abordagens dão a mesma série, confirmando que a solução via potência é equivalente à clássica e sua série de Taylor.