O método de soluções em série pode ser facilmente adaptado para resolver EDOs não homogêmeas cuja a parte não homogênea é polinomial. Resolva as EDOs abaixo via série de potências e depois compare com os métodos aprendidos anteriormente (para a comparação use a expansão em série de Taylor).
(a) y^prime-y=x^2 em torno de x0=0 Res: y(x)=a0 sumn=0^infty x^nn!+2 sumn=3^infty x^nn!=bara0 sumn=0^infty x^nn!-2(1+x+x^22).

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO não homogênea y' - y = x^2 por série de potências em torno de x0=0 e depois comparar com o método clássico via expansão em Taylor. Vamos usar o método de séries: supor uma expansão para y(x), obter relação de recorrência para os coeficientes e, ao final, confrontar com a solução obtida por fator integrante e sua série de Taylor.

Passo 2

Assumimos
y(x)=sumn=0^inftyanx^n
Então
y'(x)=sumn=1^inftyn,anx^n-1=sumn=0^infty(n+1)an+1x^n

Passo 3

Substituindo na EDO:
y'-y=sumn=0^inftyl((n+1)an+1-anr)x^n=x^2=sumn=0^infty bnx^n,
onde b2=1 e os outros bn=0. Daí a recorrência
(n+1)an+1-an=bnRightarrow an+1=an+bnn+1

Passo 4

Para nne2 temos bn=0 e então an+1=an/(n+1). Para n=2 aparece b2=1 e
$$a_3=\frac{a_2+1}{3}.
$$
Cálculo inicial: a3=a2+13 , a1=a0, a2=a1/2=a0/2. A parte homogênea gera a3=a0/6+1/3. A parte particular satisfaz an^(h)=a0/n! e c3=1/3, levando a cn+1=cn/(n+1) para cn=2/n!.

Passo 5

Logo
$$y(x)=\sum_{n=0}^\infty a_nxn=a_0\sum_{n=0}\infty\frac{xn}{n!}+2\sum_{n=3}\infty\frac{x^n}{n!}.
y(x)=sumn=0^infty anx^n=a0sumn=0^inftyx^nn!+2sumn=3^inftyx^nn! y(x)=\bar a_0\sum_{n=0}\infty\frac{xn}{n!}-2\Bigl(1+x+\tfrac{x^2}{2}\Bigr).
$$

Passo 6

Pelo método clássico (fator integrante) encontramos a solução fechada
$$y(x)=Cex-(x2+2x+2).
y(x)=Ce^x-(x^2+2x+2) éCe^x= C\sum_{n=0}\infty\frac{xn}{n!},\quad -(x2+2x+2)=-2\Bigl(1+x+\tfrac{x2}{2}\Bigr).
$$
Vemos que a expansão coincide exatamente com o resultado pelo método de séries de potências.

Passo 7

As duas abordagens dão a mesma série, confirmando que a solução via potência é equivalente à clássica e sua série de Taylor.

Resposta

y(x)=a0sumn=0^inftytfracx^nn!+2sumn=3^inftytfracx^nn!=bara0sumn=0^inftytfracx^nn!-2l(1+x+tfracx^22r)

Exercícios relacionados