Encontrar o ângulo entre as retas:
x+(2+a)^2 y+4+a=0 ; x+(4-a)^2 y-8+a=0

Passo 1

O enunciado pede para encontrar o ângulo θ entre as retas dadas por x+(2+a)²y+4+a=0 e x+(4−a)²y−8+a=0. Estamos em Geometria Analítica de retas e vamos precisar do coeficiente angular de cada reta e da fórmula do ângulo entre duas retas.

Passo 2

Para a reta Ax+By+C=0 (com B≠0), o coeficiente angular é m=−A/B. E a fórmula para o ângulo θ entre duas retas de coeficientes angulares m₁ e m₂ é
tantheta=|m1-m21+m1m2|

Passo 3

Na primeira reta temos A₁=1 e B₁=(2+a)², logo
$$m_1=-\frac{A_1}{B_1}=-\frac{1}{(2+a)^2}.
m1=-A1B1=-1(2+a)^2 ²m_2=-\frac{A_2}{B_2}=-\frac{1}{(4-a)^2}.
$$

Passo 4

Substituindo em tanθ e simplificando o numerador e denominador:
$$\tan\theta=\left|\frac{-\frac1{(2+a)2}+\frac1{(4-a)2}}{1+\bigl(-\frac1{(2+a)2}\bigr)\bigl(-\frac1{(4-a)2}\bigr)}\right|
=\left|\frac{(4-a)2-(2+a)2}{1+(2+a)2(4-a)2}\right|. tantheta=|-1(2+a)^2+1(4-a)^21+l(-1(2+a)^2r)l(-1(4-a)^2r)| =|(4-a)^2-(2+a)^21+(2+a)^2(4-a)^2|²²ã\tan\theta=\frac{12|1-a|}{1+(2+a)2(4-a)2}.
$$

Passo 5

Portanto o ângulo entre as retas é dado por θ tal que tanθ vale a expressão acima, isto é θ=arctan desse valor.

Resposta

theta=arctan!gl(12|1-a|1+(2+a)^2(4-a)^2gr)

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