Encontrar o ângulo entre as retas:
Passo 1
O enunciado pede o ângulo entre as retas x=0, x−√3
y+3=0 e x−√a
y+a=0. O conteúdo é geometria analítica: a gente vai precisar achar a inclinação (ângulo de inclinação) de cada reta e usar a fórmula do ângulo entre duas retas, que é a diferença absoluta dos ângulos de inclinação.
y+3=0 e x−√a
y+a=0. O conteúdo é geometria analítica: a gente vai precisar achar a inclinação (ângulo de inclinação) de cada reta e usar a fórmula do ângulo entre duas retas, que é a diferença absoluta dos ângulos de inclinação.
Passo 2
A reta x=0 é vertical, ou seja, sua inclinação em relação ao eixo Ox é α₁=π/2 (90°). Podemos dizer que seu coeficiente angular é “infinito”, mas o que importa é que α₁=π/2.
Passo 3
Para as outras duas retas, reescrevemos em forma reduzida y=mx+b e identificamos m e o ângulo α=arctan(m):
Para x−√3
y+3=0 temos
Para x−√3
y+3=0 temos
logo m₂=1/√3 e α₂=arctan(1/√3)=π/6.
Para x−√a
y+a=0 temos
Para x−√a
y+a=0 temos
logo m₃=1/√a e α₃=arctan(1/√a).
Passo 4
O ângulo entre a reta 1 (x=0) e a reta 2 é
Passo 5
O ângulo entre a reta 1 e a reta 3 é
Como
para x>0, temos θ₁₃=arctan(√a).
Passo 6
O ângulo entre a reta 2 e a reta 3 é
Alternativamente, usando a fórmula da tangente da diferença:
Resposta
Os ângulos entre as três retas são:
θ₁₂=π/3,
θ₁₃=arctan(√a),
θ₂₃=|π/6−arctan(1/√a)| (com tanθ₂₃=|√a−√3|/(√3√a+1)).
θ₁₂=π/3,
θ₁₃=arctan(√a),
θ₂₃=|π/6−arctan(1/√a)| (com tanθ₂₃=|√a−√3|/(√3√a+1)).