Encontrar o ângulo entre as retas:
x=0 ; x-raiz3 y+3=0 ; x-raiza y+a=0

Passo 1

O enunciado pede o ângulo entre as retas x=0, x−√3
y+3=0 e x−√a
y+a=0. O conteúdo é geometria analítica: a gente vai precisar achar a inclinação (ângulo de inclinação) de cada reta e usar a fórmula do ângulo entre duas retas, que é a diferença absoluta dos ângulos de inclinação.

Passo 2

A reta x=0 é vertical, ou seja, sua inclinação em relação ao eixo Ox é α₁=π/2 (90°). Podemos dizer que seu coeficiente angular é “infinito”, mas o que importa é que α₁=π/2.

Passo 3

Para as outras duas retas, reescrevemos em forma reduzida y=mx+b e identificamos m e o ângulo α=arctan(m):
Para x−√3
y+3=0 temos
√3,y=x+3Rightarrow y=1raiz3x+3raiz3
logo m₂=1/√3 e α₂=arctan(1/√3)=π/6.
Para x−√a
y+a=0 temos
√a,y=x+aRightarrow y=1raiz ax+ araiz a
logo m₃=1/√a e α₃=arctan(1/√a).

Passo 4

O ângulo entre a reta 1 (x=0) e a reta 2 é
θ12=|α₁−α₂|=π2−π6=π3

Passo 5

O ângulo entre a reta 1 e a reta 3 é
θ13=|α₁−α₃|=π2−arctanl(tfrac1raiz ar)
Como π2−arctan(x)=arctan(1/x) para x>0, temos θ₁₃=arctan(√a).

Passo 6

O ângulo entre a reta 2 e a reta 3 é
θ23=|α₂−α₃|=l|π6−arctanl(tfrac1raiz ar)r|
Alternativamente, usando a fórmula da tangente da diferença:
tanθ23=|m₂−m₃1+m₂m₃|=|1raiz3-1raiz a1+1raiz3cdot1raiz a|=|raiz a-raiz3|raiz3,raiz a+1

Resposta

Os ângulos entre as três retas são:
θ₁₂=π/3,
θ₁₃=arctan(√a),
θ₂₃=|π/6−arctan(1/√a)| (com tanθ₂₃=|√a−√3|/(√3√a+1)).

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