Encontrar a área da região limitada pelas curvas dadas.
y=\ln x, x=0 e y=4

Passo 1

O enunciado pede: encontrar a área da região limitada pelas curvas y=\ln x, x=0 e y=4.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • A curva é y=\ln x.
  • A reta vertical é x=0 (eixo y).
  • A reta horizontal é y=4.
  • A interseção entre y=\ln x e y=4 ocorre quando \ln x=4, isto é x=e^{4}.
  • A curva y=\ln x não intersecta x=0 num ponto com x=0 porque \ln x está definida só para x>0; quando x\to 0^{+} temos \ln x\to -\infty.
    Esses são todos os dados que precisamos listar antes de começar a resolver.

Passo 2

Vamos entender geometricamente a região para escolher uma forma prática de calcular a área. Imagine o gráfico:
  • A linha y=4 é o teto (parte superior) da região, e tem pontos de x desde 0 até x=e^{4}.
  • A linha x=0 é a fronteira à esquerda.
  • A curva y=\ln x fica à direita da linha x=0 e passa por (e^{4},4), descendo indefinidamente em y quando x\to 0^{+}.
Observação importante: embora a região se estenda para y\to -\infty (porque \ln x\to -\infty perto de x=0), a largura horizontal da região vai a zero quando descemos, então a área pode ser finita. Para visualizar uma fatia horizontal em altura y, a seção horizontal da região vai de x=0 até o valor de x dado por inverter y=\ln x, ou seja x=e^{y}. Por isso é conveniente integrar com respeito a y (fatias horizontais).

Passo 3

Regra prática para área por fatias horizontais: se para cada y entre y=a e y=b a seção horizontal da região vai de x=x_{\text{esquerda}}(y) até x=x_{\text{direita}}(y), então a área é
\text{Área}=\int_{y=a}^{y=b}\bigl(x_{\text{direita}}(y)-x_{\text{esquerda}}(y)\bigr)\,dy.Á
Aqui temos x_{\text{esquerda}}(y)=0 (a reta x=0) e da equação y=\ln x obtemos x_{\text{direita}}(y)=e^{y}. Os valores de y que cobrem a região vão desde y\to -\infty (onde a curva se aproxima do eixo y) até y=4. Portanto a área é o integral impróprio
\text{Área}=\int_{y=-\infty}^{4} e^{y}\,dy.Á

Passo 4

Calcular o integral impróprio usando a definição de limite. Escrevemos
\text{Área}=\lim_{a\to -\infty}\int_{y=a}^{4} e^{y}\,dy.Á
A primitiva de e^{y} é e^{y}. Então
\int_{y=a}^{4} e^{y}\,dy = \bigl[e^{y}\bigr]_{y=a}^{y=4} = e^{4}-e^{a}.
Agora tomamos o limite quando a\to -\infty. Sabemos que \lim_{a\to -\infty} e^{a}=0. Logo
\text{Área}=\lim_{a\to -\infty}\bigl(e^{4}-e^{a}\bigr)=e^{4}-0=e^{4}.Á

Passo 5

Interpretação final: apesar da região se estender indefinidamente para baixo, a largura vai a zero rápido o suficiente (exponencial) para que a área total seja finita. O cálculo acima mostra passo a passo como montar o integral, avaliar a primitiva e tratar o limite do integral impróprio.

Resposta

e^{4}

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