Encontrar a área da região limitada pelas curvas dadas.
e
Passo 1
O enunciado pede: encontrar a área da região limitada pelas curvas
,
e
.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- A curva é
. - A reta vertical é
(eixo ). - A reta horizontal é
. - A interseção entre
e ocorre quando , isto é . - A curva
não intersecta num ponto com porque está definida só para ; quando temos .
Esses são todos os dados que precisamos listar antes de começar a resolver.
Passo 2
Vamos entender geometricamente a região para escolher uma forma prática de calcular a área. Imagine o gráfico:
- A linha
é o teto (parte superior) da região, e tem pontos de desde até . - A linha
é a fronteira à esquerda. - A curva
fica à direita da linha e passa por , descendo indefinidamente em quando .
Observação importante: embora a região se estenda para
(porque
perto de
), a largura horizontal da região vai a zero quando descemos, então a área pode ser finita. Para visualizar uma fatia horizontal em altura
, a seção horizontal da região vai de
até o valor de
dado por inverter
, ou seja
. Por isso é conveniente integrar com respeito a
(fatias horizontais).
Passo 3
Regra prática para área por fatias horizontais: se para cada
entre
e
a seção horizontal da região vai de
até
, então a área é
Aqui temos
(a reta
) e da equação
obtemos
. Os valores de
que cobrem a região vão desde
(onde a curva se aproxima do eixo
) até
. Portanto a área é o integral impróprio
Passo 4
Calcular o integral impróprio usando a definição de limite. Escrevemos
A primitiva de
é
. Então
Agora tomamos o limite quando
. Sabemos que
. Logo
Passo 5
Interpretação final: apesar da região se estender indefinidamente para baixo, a largura vai a zero rápido o suficiente (exponencial) para que a área total seja finita. O cálculo acima mostra passo a passo como montar o integral, avaliar a primitiva e tratar o limite do integral impróprio.