Encontrar a área da região limitada pelas curvas dadas.
e
Passo 1
O problema pede: encontrar a área da região limitada pelas curvas
e
.
Informações dadas:
- A primeira curva é a reta
. - A segunda curva é a parábola (em função de
) , que pode ser escrita como . - A região procurada é a porção do plano onde essas duas curvas se cruzam e fecham uma região limitada.
Passo 2
Vamos encontrar os pontos de interseção das duas curvas, pois eles determinam os limites da região. Igualamos as expressões de
das duas curvas:
Igualando:
Subtraindo
de ambos os lados e rearranjando:
Portanto as interseções ocorrem em
e
.
Para cada
obtemos
:
- Se
, então . Ponto . - Se
, então . Ponto .
Passo 3
Decidimos o melhor método de integração: observar as curvas como funções
em função de
é direto (já temos
e
), então é natural integrar com respeito a
usando fatias horizontais (cada fatia tem largura em
). Vou explicar a ideia do cálculo da área entre duas curvas: se, para um dado
, a curva direita tem coordenada
e a curva esquerda tem
, a largura da fatia é
e a área total é
Aqui precisamos identificar, para
entre
e
, qual curva fica à direita (maior
) e qual fica à esquerda (menor
).
Passo 4
Comparação das abscissas das curvas para
:
Como para
temos
, segue
. Logo, a parábola
fica à direita e a reta
fica à esquerda no intervalo de interesse. Portanto a largura da fatia é
Passo 5
Montamos a integral que dá a área, usando os limites de
achados no Passo 2 (
a
):
Passo 6
Agora calculamos a integral passo a passo. Primeiro encontramos primitivas:
- Uma primitiva de
é , porque derivando volta . - Uma primitiva de
é , porque derivando volta .
Portanto uma primitiva de
é
Passo 7
Avaliação da integral definida usando a primitiva:
Isso dá
Para subtrair, colocamos em denominador comum
:
logo
Passo 8
Interpretação final e checagem rápida: obtemos uma área positiva e pequena, coerente com a região estreita entre
e
entre as duas curvas. Os cálculos das interseções e da integral foram feitos explicitamente e passo a passo.