Encontrar a área da região limitada pelas curvas dadas.
x+y=3 e y^{2}+x=3

Passo 1

O problema pede: encontrar a área da região limitada pelas curvas x+y=3 e y^{2}+x=3.
Informações dadas:
  • A primeira curva é a reta x+y=3.
  • A segunda curva é a parábola (em função de y) y^{2}+x=3, que pode ser escrita como x=3-y^{2}.
  • A região procurada é a porção do plano onde essas duas curvas se cruzam e fecham uma região limitada.

Passo 2

Vamos encontrar os pontos de interseção das duas curvas, pois eles determinam os limites da região. Igualamos as expressões de x das duas curvas:
x=3-y \quad\text{(da reta)}
x=3-y^{2}\quad\text{(da parábola)}á
Igualando:
3-y = 3-y^{2}.
Subtraindo 3 de ambos os lados e rearranjando:
-y = -y^{2}
y^{2}-y=0
y(y-1)=0.
Portanto as interseções ocorrem em \,y=0 e \,y=1.
Para cada y obtemos x:
  • Se y=0, então x=3-0=3. Ponto (3,0).
  • Se y=1, então x=3-1=2. Ponto (2,1).

Passo 3

Decidimos o melhor método de integração: observar as curvas como funções x em função de y é direto (já temos x=3-y e x=3-y^{2}), então é natural integrar com respeito a y usando fatias horizontais (cada fatia tem largura em x). Vou explicar a ideia do cálculo da área entre duas curvas: se, para um dado y, a curva direita tem coordenada x_{\text{direita}}(y) e a curva esquerda tem x_{\text{esquerda}}(y), a largura da fatia é x_{\text{direita}}(y)-x_{\text{esquerda}}(y) e a área total é
\int_{y_{\min}}^{y_{\max}} \bigl(x_{\text{direita}}(y)-x_{\text{esquerda}}(y)\bigr)\,dy.
Aqui precisamos identificar, para y entre 0 e 1, qual curva fica à direita (maior x) e qual fica à esquerda (menor x).

Passo 4

Comparação das abscissas das curvas para 0\le y\le1:
x_{\text{reta}}(y)=3-y,
x_{\text{parábola}}(y)=3-y^{2}.á
Como para 0\le y\le1 temos y^{2}\le y, segue 3-y^{2}\ge 3-y. Logo, a parábola x=3-y^{2} fica à direita e a reta x=3-y fica à esquerda no intervalo de interesse. Portanto a largura da fatia é
(3-y^{2})-(3-y)= -y^{2}+y.

Passo 5

Montamos a integral que dá a área, usando os limites de y achados no Passo 2 ( y=0 a y=1):
\text{Área}=\int_{0}^{1} \bigl((3-y^{2})-(3-y)\bigr)\,dy=\int_{0}^{1} (y - y^{2})\,dy.Á

Passo 6

Agora calculamos a integral passo a passo. Primeiro encontramos primitivas:
  • Uma primitiva de y é \dfrac{y^{2}}{2}, porque derivando \dfrac{y^{2}}{2} volta y.
  • Uma primitiva de y^{2} é \dfrac{y^{3}}{3}, porque derivando \dfrac{y^{3}}{3} volta y^{2}.
Portanto uma primitiva de y-y^{2} é
F(y)=\frac{y^{2}}{2}-\frac{y^{3}}{3}.

Passo 7

Avaliação da integral definida usando a primitiva:
\int_{0}^{1} (y-y^{2})\,dy = \left[\frac{y^{2}}{2}-\frac{y^{3}}{3}\right]_{0}^{1} = \left(\frac{1^{2}}{2}-\frac{1^{3}}{3}\right)-\left(\frac{0^{2}}{2}-\frac{0^{3}}{3}\right).
Isso dá
\frac{1}{2}-\frac{1}{3}.
Para subtrair, colocamos em denominador comum 6:
\frac{1}{2}=\frac{3}{6},\qquad \frac{1}{3}=\frac{2}{6},
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\frac{1}{2}-\frac{1}{3}=\frac{3}{6}-\frac{2}{6}=\frac{1}{6}.

Passo 8

Interpretação final e checagem rápida: obtemos uma área positiva e pequena, coerente com a região estreita entre y=0 e y=1 entre as duas curvas. Os cálculos das interseções e da integral foram feitos explicitamente e passo a passo.

Resposta

\dfrac{1}{6}

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