Verifique, por meio de algum dos testes de comparação, se cada série dada a seguir é convergente ou divergente.
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{1+\frac{1}{n}}}.

Passo 1

O enunciado pede para verificar, por meio de algum teste de comparação, se a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{1+\frac{1}{n}}}
é convergente ou divergente. Informações importantes dadas pelo enunciado:
  • A série é uma soma sobre n=1,2,3,\dots.
  • O termo geral é a_n=\dfrac{1}{n^{1+\frac{1}{n}}}.
  • Todos os termos a_n são positivos (já que n^{1+\frac{1}{n}}>0 para todo n).
    Não se pede um método específico; qualquer teste de comparação válido pode ser usado.

Passo 2

Por que comparar? Uma estratégia natural é comparar com a série harmônica \sum \dfrac{1}{n}, porque o expoente em a_n é 1+\dfrac{1}{n}, que tende para 1 quando n\to\infty. Se os termos de nossa série se comportam, em grande n, como \dfrac{1}{n}, então a série deve herdar o comportamento da harmônica (que diverge). Mas como fazer isso rigorosamente? O teste mais direto aqui é o teste da comparação por limite (limit comparison test).

Passo 3

Enunciado do teste da comparação por limite (explicado de forma simples):
Sejam a_n>0 e b_n>0 sequências. Se existir o limite finito e positivo
L=\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n},\quad 0<L<\infty,
então as séries \sum a_n e \sum b_n têm o mesmo comportamento: ou ambas convergem ou ambas divergem. Aqui usaremos b_n=\dfrac{1}{n} (a série \sum b_n é a harmônica, que sabemos que diverge).

Passo 4

Calculemos a razão a_n/b_n. Tomando a_n=\dfrac{1}{n^{1+\frac{1}{n}}} e b_n=\dfrac{1}{n}, temos
\frac{a_n}{b_n}=\frac{\dfrac{1}{n^{1+\frac{1}{n}}}}{\dfrac{1}{n}}=n\cdot\frac{1}{n^{1+\frac{1}{n}}}=n^{-\,\frac{1}{n}}.
Reescrevemos n^{-\,\frac{1}{n}} usando exponencial e logaritmo para facilitar o limite:
n^{-\,\frac{1}{n}} = e^{\ln\!\left(n^{-\,\frac{1}{n}}\right)} = e^{-\frac{\ln n}{n}}.

Passo 5

Agora avaliamos o limite do expoente. É conhecido (e fácil de justificar por L’Hôpital ou por crescimento relativo das funções) que
\lim_{n\to\infty}\frac{\ln n}{n}=0.
Portanto
\lim_{n\to\infty} n^{-\,\frac{1}{n}} = \lim_{n\to\infty} e^{-\frac{\ln n}{n}} = e^{0}=1.
Logo o limite da razão é
L=\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}=1,
que é um número finito e positivo.

Passo 6

Aplicando o teste da comparação por limite: como L=1\in(0,\infty), as séries \sum a_n e \sum b_n têm o mesmo comportamento. Sabemos que a série harmônica
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}
é divergente. Logo a série dada também é divergente.

Passo 7

Intuição extra (para fixar): o fator extra n^{-\frac{1}{n}} é um fator que tende para 1 quando n cresce. Assim a_n é aproximadamente \dfrac{1}{n} para n grande, e por isso a soma “se comporta” como a harmônica e diverge. Se quiser, pense que n^{-1/n}=e^{-(\ln n)/n}\approx 1 para grandes n, então não há decaimento suficiente para obter convergência.

Resposta

Divergente.

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