Verifique, por meio de algum dos testes de comparação, se cada série dada a seguir é convergente ou divergente.
.
Passo 1
O enunciado pede para verificar, por meio de algum teste de comparação, se a série
é convergente ou divergente. Informações importantes dadas pelo enunciado:
- A série é uma soma sobre
. - O termo geral é
. - Todos os termos
são positivos (já que para todo ).
Não se pede um método específico; qualquer teste de comparação válido pode ser usado.
Passo 2
Por que comparar? Uma estratégia natural é comparar com a série harmônica
, porque o expoente em
é
, que tende para
quando
. Se os termos de nossa série se comportam, em grande
, como
, então a série deve herdar o comportamento da harmônica (que diverge). Mas como fazer isso rigorosamente? O teste mais direto aqui é o teste da comparação por limite (limit comparison test).
Passo 3
Enunciado do teste da comparação por limite (explicado de forma simples):
Sejam e
sequências. Se existir o limite finito e positivo
Sejam
então as séries
e
têm o mesmo comportamento: ou ambas convergem ou ambas divergem. Aqui usaremos
(a série
é a harmônica, que sabemos que diverge).
Passo 4
Calculemos a razão
. Tomando
e
, temos
Reescrevemos
usando exponencial e logaritmo para facilitar o limite:
Passo 5
Agora avaliamos o limite do expoente. É conhecido (e fácil de justificar por L’Hôpital ou por crescimento relativo das funções) que
Portanto
Logo o limite da razão é
que é um número finito e positivo.
Passo 6
Aplicando o teste da comparação por limite: como
, as séries
e
têm o mesmo comportamento. Sabemos que a série harmônica
é divergente. Logo a série dada também é divergente.
Passo 7
Intuição extra (para fixar): o fator extra
é um fator que tende para
quando
cresce. Assim
é aproximadamente
para
grande, e por isso a soma “se comporta” como a harmônica e diverge. Se quiser, pense que
para grandes
, então não há decaimento suficiente para obter convergência.
Resposta
Divergente.