Calcule as derivadas das funções abaixo nos valores indicados, utilizando as propriedades das derivadas:
para
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para calcular a derivada da função $ c_{a}(x) = \frac{2x^{3} - 4}{x + 1} $ no ponto $ x = 0 $. A matéria envolvida aqui é cálculo diferencial, especificamente as propriedades das derivadas. Para resolver isso, vamos precisar conhecer a regra da derivada de quocientes e como aplicar derivadas básicas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para derivar uma função que é o quociente de duas funções, usamos a Regra do Quociente. A regra diz que se temos uma função $ \frac{f(x)}{g(x)} $, sua derivada é:
Passo 3
Aplicando isso à nossa função $ c_{a}(x) = \frac{2x^{3} - 4}{x + 1} $:
- Função do numerador ($ f(x) $): $ 2x^{3} - 4 $
- Função do denominador ($ g(x) $): $ x + 1 $
Precisamos derivar $ f(x) $ e $ g(x) $:
Passo 4
Agora, aplicamos a Regra do Quociente:
Vamos simplificar o numerador:
Então, a derivada fica:
Passo 5
Agora, queremos encontrar o valor dessa derivada no ponto $ x = 0 $. Basta substituir $ x = 0 $ na expressão da derivada:
Resposta
A derivada da função $ c_{a}(x) = \frac{2x^{3} - 4}{x + 1} $ no ponto $ x = 0 $ é igual a 4.