Calcule as derivadas das funções abaixo nos valores indicados, utilizando as propriedades das derivadas:
ca(x)=2 x^3-4x+1 para x=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para calcular a derivada da função $ c_{a}(x) = \frac{2x^{3} - 4}{x + 1} $ no ponto $ x = 0 $. A matéria envolvida aqui é cálculo diferencial, especificamente as propriedades das derivadas. Para resolver isso, vamos precisar conhecer a regra da derivada de quocientes e como aplicar derivadas básicas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para derivar uma função que é o quociente de duas funções, usamos a Regra do Quociente. A regra diz que se temos uma função $ \frac{f(x)}{g(x)} $, sua derivada é:
f(x)g(x)

Passo 3

Aplicando isso à nossa função $ c_{a}(x) = \frac{2x^{3} - 4}{x + 1} $:
  • Função do numerador ($ f(x) $): $ 2x^{3} - 4 $
  • Função do denominador ($ g(x) $): $ x + 1 $
Precisamos derivar $ f(x) $ e $ g(x) $:
ca(x) = 2x^3 - 4x + 1
f(x)

Passo 4

Agora, aplicamos a Regra do Quociente:
c'a(x) = 6x^2 cdot (x + 1) - (2x^3 - 4) cdot 1(x + 1)^2
Vamos simplificar o numerador:
6x^2(x + 1) = 6x^3 + 6x^2
(2x^3 - 4) cdot 1 = 2x^3 - 4
Numerador total = 6x^3 + 6x^2 - 2x^3 + 4 = 4x^3 + 6x^2 + 4
Então, a derivada fica:
c'a(x) = 4x^3 + 6x^2 + 4(x + 1)^2

Passo 5

Agora, queremos encontrar o valor dessa derivada no ponto $ x = 0 $. Basta substituir $ x = 0 $ na expressão da derivada:
x = 0

Resposta

A derivada da função $ c_{a}(x) = \frac{2x^{3} - 4}{x + 1} $ no ponto $ x = 0 $ é igual a 4.

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