Encontrar a área da região limitada do plano x O y, delimitada pelas representações geométricas dos gráficos das funções abaixo:
f(x)=sen x, x=-2 pi, x=2 pi e y=0

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a área da região no plano xOy limitada pelo gráfico de f(x)=sen x, pelas retas verticais x=−2π e x=2π, e pelo eixo y=0. O conteúdo principal é o cálculo de integrais definidas, em particular o uso de ∫|f(x)|dx para obter áreas.

Passo 2

Precisamos ver onde sen x é positivo ou negativo em [−2π,2π]. As raízes de sen x nesse intervalo são x=−2π, −π, 0, π, 2π, e entre esses valores a função alterna sinal.
A área procurada é a soma das áreas entre a curva e o eixo, tomando sempre valores positivos. Logo, temos
Área = integral-2pi^2pi |sin x|,dxÁ
A função |sen x| é par e tem período 2π, então
integral-2pi^2pi |sin x|,dx = 2integral0^2pi |sin x|,dx
Para calcular integral0^2pi|sin x|,dx dividimos em [0,π] (onde sen x≥0) e [π,2π] (onde sen x≤0):
integral0^pisin x,dx = [-cos x]0^pi = 2,
integralpi^2pi|sin x|,dx = integralpi^2pi-sin x,dx = [cos x]pi^2pi = 2
Somando dá 4.

Passo 3

Multiplicando pelo fator 2 do passo anterior, a área total é
2times 4 = 8

Resposta

8

Exercícios relacionados