Encontrar a área da região limitada do plano
, delimitada pelas representações geométricas dos gráficos das funções abaixo:
e
Passo 1
O enunciado pede para encontrar a área da região no plano xOy limitada pelo gráfico de f(x)=sen x, pelas retas verticais x=−2π e x=2π, e pelo eixo y=0. O conteúdo principal é o cálculo de integrais definidas, em particular o uso de ∫|f(x)|dx para obter áreas.
Passo 2
Precisamos ver onde sen x é positivo ou negativo em [−2π,2π]. As raízes de sen x nesse intervalo são x=−2π, −π, 0, π, 2π, e entre esses valores a função alterna sinal.
A área procurada é a soma das áreas entre a curva e o eixo, tomando sempre valores positivos. Logo, temos
A área procurada é a soma das áreas entre a curva e o eixo, tomando sempre valores positivos. Logo, temos
A função |sen x| é par e tem período 2π, então
Para calcular
dividimos em [0,π] (onde sen x≥0) e [π,2π] (onde sen x≤0):
Somando dá 4.
Passo 3
Multiplicando pelo fator 2 do passo anterior, a área total é
Resposta
8