1. sumk=1^+infty(23)^k+2

Passo 1

Nesse exercício queremos calcular a soma da série infinita sumk=1^inftyl(tfrac23r)^k+2. O conteúdo principal é soma de séries geométricas infinitas, e vamos precisar da fórmula sumk=0^inftyr^k=11-r válida para |r|<1.

Passo 2

Primeiro, fatoramos o termo (2/3)^k+2 isolando a parte constante:
sumk=1^inftyl(tfrac23r)^k+2 = l(tfrac23r)^2 sumk=1^inftyl(tfrac23r)^k

Passo 3

Agora aplicamos a soma da série geométrica a partir de k=1. Sabemos que
sumk=1^inftyr^k = r1-r, para r=2/3. Então
sumk=1^inftyl(tfrac23r)^k = tfrac231 - tfrac23 = tfrac23tfrac13 = 2

Passo 4

Multiplicando pelo fator (2/3)^2=4/9, obtemos
sumk=1^inftyl(tfrac23r)^k+2 = 49 times 2 = 89

Resposta

tfrac89

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