[Oppenheim et al., 1996, ex. 5.2] Calcule a transformada de Fourier de:
de

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Fourier discreta (DTFT) do sinal x[n] = δ[n+2] − δ[n−2]. O conteúdo aqui é a DTFT de sequências impulsivas e vamos precisar da definição da DTFT e da propriedade de deslocamento.

Passo 2

A definição da DTFT de uma sequência x[n] é dada por
X(e^jomega) = sumn=-infty^infty x[n],e^-jomega n
Pela linearidade da soma, podemos escrever a transformada como X = X₁ − X₂, onde X₁ é a DTFT de δ[n+2] e X₂ a DTFT de δ[n−2].

Passo 3

Para o impulso deslocado δ[n − n₀] vale
sumn de
No nosso caso temos:
• Para δ[n+2] → n₀ = −2, logo X₁ = e^{-j\omega(−2)} = e^{j2\omega}.
• Para δ[n−2] → n₀ = 2, logo X₂ = e^{-j\omega(2)} = e^{-j2\omega}.

Passo 4

Substituindo na expressão linear e simplificando, obtemos
X(e^jomega) = e^j2omega - e^-j2omega = 2jsin(2omega)

Resposta

X(e^{j\omega}) = e^{j2\omega} - e^{-j2\omega} = 2j\sin(2\omega)

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