[Oppenheim et al., 1996, ex. 5.2] Calcule a transformada de Fourier de:
Passo 1
O enunciado pede a transformada de Fourier discreta (DTFT) do sinal x[n] = δ[n+2] − δ[n−2]. O conteúdo aqui é a DTFT de sequências impulsivas e vamos precisar da definição da DTFT e da propriedade de deslocamento.
Passo 2
A definição da DTFT de uma sequência x[n] é dada por
Pela linearidade da soma, podemos escrever a transformada como X = X₁ − X₂, onde X₁ é a DTFT de δ[n+2] e X₂ a DTFT de δ[n−2].
Passo 3
Para o impulso deslocado δ[n − n₀] vale
No nosso caso temos:
• Para δ[n+2] → n₀ = −2, logo X₁ = e^{-j\omega(−2)} = e^{j2\omega}.
• Para δ[n−2] → n₀ = 2, logo X₂ = e^{-j\omega(2)} = e^{-j2\omega}.
• Para δ[n+2] → n₀ = −2, logo X₁ = e^{-j\omega(−2)} = e^{j2\omega}.
• Para δ[n−2] → n₀ = 2, logo X₂ = e^{-j\omega(2)} = e^{-j2\omega}.
Passo 4
Substituindo na expressão linear e simplificando, obtemos
Resposta
X(e^{j\omega}) = e^{j2\omega} - e^{-j2\omega} = 2j\sin(2\omega)