[Oppenheim et al., 1996, ex. 4.1] Calcule as transformadas de Fourier de:
e^-2|t-1|

Passo 1

O exercício pede a transformada de Fourier de f(t)=e^-2|t-1|. O conteúdo aqui é transformada de Fourier e vamos precisar usar a transformada conhecida de e^-a|t| e a propriedade de deslocamento no tempo.

Passo 2

Primeiro, calculamos a transformada de Fourier de f0(t)=e^-2|t|. Usando a definição:
F0(omega)=integral-infty^inftye^-2|t|e^-jomega tdt =integral0^inftye^-2te^-jomega tdt+integral0^inftye^-2te^jomega tdt
Cada integral é uma exponencial simples:
integral0^inftye^-(2+jomega)tdt=12+jomega, integral0^inftye^-(2-jomega)tdt=12-jomega
Somando,
F0(omega)=12+jomega+12-jomega=2(2)4+omega^2=44+omega^2

Passo 3

Agora aplicamos a propriedade de deslocamento em tempo: se g(t)=f0(t-1), então G(omega)=e^-jomegacdot 1F0(omega). Como f(t)=e^-2|t-1|=f0(t-1), temos
F(omega)=e^-jomegaF0(omega)=e^-jomega44+omega^2

Resposta

F(omega)=dfrac4e^-jomega4+omega^2.

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