Encontrar a área da região limitada do plano x y, delimitada pelas representações geométricas dos gráficos das seguintes funções abaixo:
f(x)=x^{2}, para x \in \mathbb{R}, x=2, x=4 e y=0.

Passo 1

O enunciado pede a área da região do plano limitada pela parábola \,y=x^2, pelas retas verticais \,x=2 e \,x=4 e pelo eixo \,y=0. O conteúdo necessário é o cálculo de área sob curva usando integral definida.

Passo 2

Para calcular a área entre duas funções f(x) e g(x) no intervalo [a,b], usamos
A = \int_{a}^{b} \bigl(f(x)-g(x)\bigr)\,dx.
Aqui f(x)=x^2 é a fronteira superior e g(x)=0 é a fronteira inferior, com a=2 e b=4.

Passo 3

Substituindo em
A = \int_{2}^{4} \bigl(x^2-0\bigr)\,dx
precisamos da antiderivada de x^2, que é \tfrac{x^3}{3}.

Passo 4

Avaliar nos limites:
A = \left[\frac{x^3}{3}\right]_{2}^{4} = \frac{4^3}{3} - \frac{2^3}{3} = \frac{64-8}{3} = \frac{56}{3}.

Resposta

A área da região é \displaystyle \frac{56}{3}.

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