Encontrar o valor das integrais definidas (os itens que precisarem dos métodos de substituição, mudança de variável ou por partes aconcelho deixarem para fazer depois de assistir a aula 2).
\int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{2}}(\operatorname{sen}(x))(\cos (x)) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{2}} \sin(x)\,\cos(x)\,dx.
O conteúdo aqui é integração por substituição, pois temos a composição de uma função e sua derivada aparente.

Passo 2

Fazemos a mudança de variável
u = \sin(x), \quad du = \cos(x)\,dx.
Quando x = \tfrac{\pi}{3}, tem-se u = \sin\!\bigl(\tfrac{\pi}{3}\bigr)=\tfrac{\sqrt{3}}{2}.
Quando x = \tfrac{\pi}{2}, tem-se u = \sin\!\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr)=1.
Assim, a integral vira
\int_{u=\frac{\sqrt{3}}{2}}^{u=1} u\,du.

Passo 3

Agora basta integrar
\int u\,du = \frac{u^2}{2}
e avaliar de u=\tfrac{\sqrt{3}}{2} até u=1:
\left.\frac{u^2}{2}\right|_{\frac{\sqrt{3}}{2}}^{1} = \frac{1^2}{2} \;-\;\frac{\bigl(\frac{\sqrt{3}}{2}\bigr)^2}{2} = \frac{1}{2} - \frac{\frac{3}{4}}{2} = \frac{1}{2} - \frac{3}{8} = \frac{4}{8} - \frac{3}{8} = \frac{1}{8}.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{8}

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