Esboce uma curva com a equação polar dada primeiro esboçando o gráfico de r como função de \theta em coordenadas cartesianas.
r=-2 \operatorname{sen}(2 \theta).

Passo 1

O enunciado pede para esboçar a curva polar dada por r=-2\operatorname{sen}(2\theta), e antes disso pedir para primeiro esboçar o gráfico de r como função de \theta em coordenadas cartesianas.
Informações fornecidas e objetivo claro:
  • A função é r(\theta)=-2\operatorname{sen}(2\theta).
  • Deve-se desenhar primeiro o gráfico r versus \theta (plano cartesiano \theta- r).
  • Em seguida, transformar esse gráfico em um esboço no plano polar (traçar a curva r(\theta) no plano (x,y)).
  • Usarei \theta variando em [0,2\pi] para um período completo da curva polar (se necessário explicarei a periodicidade).

Passo 2

Entender a forma básica de r(\theta): amplitude, período e formato.
  • A amplitude (valor máximo absoluto de r) vem do coeficiente multiplicativo: |r|\le2. Ou seja, -2\le r\le 2.
  • A função é uma senoide com argumento 2\theta, então a frequência é dobrada. O período em \theta é dado por resolver 2(\theta+T)=2\theta+2\pi, logo
T=\pi.
Isto significa que r(\theta) se repete a cada \pi em \theta. Como queremos o esboço polar completo, vamos considerar \theta\in[0,2\pi], que contém duas repetições da senoide.

Passo 3

Achar zeros de r(\theta) (onde a senoide se anula), pontos importantes para o esboço cartesiano.
Resolver \;r(\theta)=0\iff -2\operatorname{sen}(2\theta)=0\iff \operatorname{sen}(2\theta)=0. Logo
2\theta = k\pi \quad\Rightarrow\quad \theta = \frac{k\pi}{2},\quad k\in\mathbb{Z}.
No intervalo [0,2\pi] esses zeros ocorrem em
\theta=0,\\ \frac{\pi}{2},\\ \pi,\\ \frac{3\pi}{2},\\\ 2\pi.

Passo 4

Achar máximos e mínimos de r(\theta) (picos da senoide) para marcar no gráfico.
Derivada:
\frac{dr}{d\theta}=-2\cdot 2\cos(2\theta)=-4\cos(2\theta).
Zerar a derivada dá \cos(2\theta)=0, isto é
2\theta=\frac{\pi}{2}+k\pi\quad\Rightarrow\quad \theta=\frac{\pi}{4}+\frac{k\pi}{2}.
No intervalo [0,2\pi] os pontos críticos são
\theta=\frac{\pi}{4},\\ \frac{3\pi}{4},\\ \frac{5\pi}{4},\\ \frac{7\pi}{4}.
Avaliar r nesses pontos:
r\!\left(\tfrac{\pi}{4}\right)=-2\operatorname{sen}\!\left(\tfrac{\pi}{2}\right)=-2, \qquad r\!\left(\tfrac{3\pi}{4}\right)=-2\operatorname{sen}\!\left(\tfrac{3\pi}{2}\right)=2,
r\!\left(\tfrac{5\pi}{4}\right)=-2\operatorname{sen}\!\left(\tfrac{5\pi}{2}\right)=-2, \qquad r\!\left(\tfrac{7\pi}{4}\right)=-2\operatorname{sen}\!\left(\tfrac{7\pi}{2}\right)=2.
Assim, a senoide varia entre -2 e 2 alternando mínimos -2 e máximos 2.

Passo 5

Montar uma tabela de pontos-chave para desenhar r vs \theta (útil para o esboço cartesiano):
  • \theta=0, r=0.
  • \theta=\tfrac{\pi}{4}, r=-2 (mínimo).
  • \theta=\tfrac{\pi}{2}, r=0.
  • \theta=\tfrac{3\pi}{4}, r=2 (máximo).
  • \theta=\pi, r=0.
  • \theta=\tfrac{5\pi}{4}, r=-2.
  • \theta=\tfrac{3\pi}{2}, r=0.
  • \theta=\tfrac{7\pi}{4}, r=2.
  • \theta=2\pi, r=0.
Com esses pontos, o gráfico \theta vs r é uma senoide (negada) com período \pi: começa em 0 em \theta=0, desce até -2 em \theta=\tfrac{\pi}{4}, volta a 0 em \tfrac{\pi}{2}, sobe a 2 em \tfrac{3\pi}{4}, etc. Ao desenhar no papel marque o eixo horizontal como \theta (de 0 a 2\pi) e eixo vertical r de -2 a 2, e passe a curva suave que conecta os pontos listados.

Passo 6

Como transformar o gráfico r(\theta) no esboço polar: regra prática sobre sinais de r.
  • Se r(\theta)>0, o ponto polar está à distância r do polo na direção do ângulo \theta.
  • Se r(\theta)<0, o ponto com coordenada (r,\theta) é o mesmo que (|r|,\theta+\pi): isto é, o vetor radial é invertido e aponta para \theta+\pi.
    Portanto, para cada intervalo em \theta entre os zeros, identificar o sinal de r e o comportamento (cresce/decresce) para traçar como o ponto se move no plano polar.

Passo 7

Usar os intervalos entre zeros para ver que pétala (ou ramo) é descrito em cada intervalo:
  • Intervalo (0,\tfrac{\pi}{2}): aqui r\le0 (chega a -2 em \tfrac{\pi}{4}). Como r é negativo, os pontos caem no semiplano com ângulo \theta+\pi\in(\pi,\tfrac{3\pi}{2}). Este intervalo traça uma pétala apontando aproximadamente para \varphi=\tfrac{5\pi}{4} (quadrante inferior esquerdo) com comprimento máximo 2.
  • Intervalo (\tfrac{\pi}{2},\pi): aqui r\ge0 (máximo 2 em \tfrac{3\pi}{4}). Traça uma pétala para \varphi\approx\tfrac{3\pi}{4} (quadrante superior esquerdo) de raio 2.
  • Intervalo (\pi,\tfrac{3\pi}{2}): similar ao primeiro, produz outra pétala para \varphi\approx\tfrac{\pi}{4} ou \tfrac{5\pi}{4} dependendo do deslocamento; avaliando os valores críticos obtidos antes, neste intervalo produz-se a pétala apontando para \varphi=\tfrac{\pi}{4} (quadrante superior direito) ou inferior direito — é mais claro listá-las ordenadas abaixo.
  • Intervalo (\tfrac{3\pi}{2},2\pi): produz a última pétala (o padrão se repete a cada \pi).
Para identificar as direções exatas das pétalas, olhar onde |r| atinge 2 e converter caso r<0 adicionando \pi. Os pontos onde |r|=2 ocorrem em \theta=\tfrac{\pi}{4},\tfrac{3\pi}{4},\tfrac{5\pi}{4},\tfrac{7\pi}{4}. Convertendo:
  • \theta=\tfrac{\pi}{4}: r=-2 então direção \theta+\pi=\tfrac{5\pi}{4}.
  • \theta=\tfrac{3\pi}{4}: r=2 então direção \tfrac{3\pi}{4}.
  • \theta=\tfrac{5\pi}{4}: r=-2 então direção \tfrac{5\pi}{4}+\pi=\tfrac{9\pi}{4}\equiv\tfrac{\pi}{4}.
  • \theta=\tfrac{7\pi}{4}: r=2 então direção \tfrac{7\pi}{4}.
Logo as pétalas têm direções (ângulos a partir do polo)
\varphi=\frac{\pi}{4},\\ \frac{3\pi}{4},\\ \frac{5\pi}{4},\\ \frac{7\pi}{4},
cada uma com raio máximo igual a 2.

Passo 8

Descrição final do esboço polar e como desenhar no papel passo a passo (prático para a prova):
  1. No papel polar, marque o polo e os eixos. Marque os ângulos \frac{\pi}{4},\frac{3\pi}{4},\frac{5\pi}{4},\frac{7\pi}{4}.
  2. Em cada uma dessas direções, marque um ponto a distância 2 do polo: esses serão os extremos das pétalas.
  3. Entre dois extremos consecutivos a curva é suave e passa pelo polo nos ângulos correspondentes a zeros (por exemplo \theta=0,\tfrac{\pi}{2},\pi,\tfrac{3\pi}{2},2\pi correspondem a travessias pelo polo). Conecte suavemente cada máximo com o polo e com os zeros seguintes formando quatro pétalas simétricas.
  4. O resultado é uma “rosa” de quatro pétalas (uma pétala em cada diagonal), cada pétala de comprimento 2, centradas nas direções indicadas acima. A simetria é de 90^\circ entre pétalas.
Dica rápida: se preferir um check, compare com r=2\operatorname{sen}(2\theta) (que também dá uma rosa de 4 pétalas). O sinal negativo apenas rota as pétalas por \pi/4, mas aqui já identificamos as direções corretas.

Resposta

A curva é uma rosa de 4 pétalas com raio máximo 2; as pétalas estão nas direções \theta=\tfrac{\pi}{4},\tfrac{3\pi}{4},\tfrac{5\pi}{4},\tfrac{7\pi}{4}.

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