Esboce uma curva com a equação polar dada primeiro esboçando o gráfico de
como função de
em coordenadas cartesianas.
.
Passo 1
O enunciado pede para esboçar a curva polar dada por
, e antes disso pedir para primeiro esboçar o gráfico de
como função de
em coordenadas cartesianas.
Informações fornecidas e objetivo claro:
Informações fornecidas e objetivo claro:
- A função é
. - Deve-se desenhar primeiro o gráfico
versus (plano cartesiano - ). - Em seguida, transformar esse gráfico em um esboço no plano polar (traçar a curva
no plano ). - Usarei
variando em para um período completo da curva polar (se necessário explicarei a periodicidade).
Passo 2
Entender a forma básica de
: amplitude, período e formato.
- A amplitude (valor máximo absoluto de
) vem do coeficiente multiplicativo: . Ou seja, . - A função é uma senoide com argumento
, então a frequência é dobrada. O período em é dado por resolver , logo
Isto significa que
se repete a cada
em
. Como queremos o esboço polar completo, vamos considerar
, que contém duas repetições da senoide.
Passo 3
Achar zeros de
(onde a senoide se anula), pontos importantes para o esboço cartesiano.
Resolver . Logo
Resolver
No intervalo
esses zeros ocorrem em
Passo 4
Achar máximos e mínimos de
(picos da senoide) para marcar no gráfico.
Derivada:
Derivada:
Zerar a derivada dá
, isto é
No intervalo
os pontos críticos são
Avaliar
nesses pontos:
Assim, a senoide varia entre
e
alternando mínimos
e máximos
.
Passo 5
Montar uma tabela de pontos-chave para desenhar
vs
(útil para o esboço cartesiano):
-
, . -
, (mínimo). -
, . -
, (máximo). -
, . -
, . -
, . -
, . -
, .
Com esses pontos, o gráfico
vs
é uma senoide (negada) com período
: começa em
em
, desce até
em
, volta a
em
, sobe a
em
, etc. Ao desenhar no papel marque o eixo horizontal como
(de
a
) e eixo vertical
de
a
, e passe a curva suave que conecta os pontos listados.
Passo 6
Como transformar o gráfico
no esboço polar: regra prática sobre sinais de
.
- Se
, o ponto polar está à distância do polo na direção do ângulo . - Se
, o ponto com coordenada é o mesmo que : isto é, o vetor radial é invertido e aponta para .
Portanto, para cada intervalo ementre os zeros, identificar o sinal de e o comportamento (cresce/decresce) para traçar como o ponto se move no plano polar.
Passo 7
Usar os intervalos entre zeros para ver que pétala (ou ramo) é descrito em cada intervalo:
- Intervalo
: aqui (chega a em ). Como é negativo, os pontos caem no semiplano com ângulo . Este intervalo traça uma pétala apontando aproximadamente para (quadrante inferior esquerdo) com comprimento máximo . - Intervalo
: aqui (máximo em ). Traça uma pétala para (quadrante superior esquerdo) de raio . - Intervalo
: similar ao primeiro, produz outra pétala para ou dependendo do deslocamento; avaliando os valores críticos obtidos antes, neste intervalo produz-se a pétala apontando para (quadrante superior direito) ou inferior direito — é mais claro listá-las ordenadas abaixo. - Intervalo
: produz a última pétala (o padrão se repete a cada ).
Para identificar as direções exatas das pétalas, olhar onde
atinge
e converter caso
adicionando
. Os pontos onde
ocorrem em
. Convertendo:
-
: então direção . -
: então direção . -
: então direção . -
: então direção .
Logo as pétalas têm direções (ângulos a partir do polo)
cada uma com raio máximo igual a
.
Passo 8
Descrição final do esboço polar e como desenhar no papel passo a passo (prático para a prova):
- No papel polar, marque o polo e os eixos. Marque os ângulos
. - Em cada uma dessas direções, marque um ponto a distância
do polo: esses serão os extremos das pétalas. - Entre dois extremos consecutivos a curva é suave e passa pelo polo nos ângulos correspondentes a zeros (por exemplo
correspondem a travessias pelo polo). Conecte suavemente cada máximo com o polo e com os zeros seguintes formando quatro pétalas simétricas. - O resultado é uma “rosa” de quatro pétalas (uma pétala em cada diagonal), cada pétala de comprimento
, centradas nas direções indicadas acima. A simetria é de entre pétalas.
Dica rápida: se preferir um check, compare com
(que também dá uma rosa de 4 pétalas). O sinal negativo apenas rota as pétalas por
, mas aqui já identificamos as direções corretas.
Resposta
A curva é uma rosa de 4 pétalas com raio máximo
; as pétalas estão nas direções
.