Depois de encontrar os autovalores
de
, encontre os autovetores respectivos associados aos autovalores.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem uma matriz $ M $ e já encontrou os seus autovalores $ \lambda_i $. Agora, o objetivo é encontrar os autovetores correspondentes a cada um desses autovalores. Estamos trabalhando com álgebra linear, especificamente com conceitos de autovalores e autovetores. Para isso, vamos precisar usar a definição de autovetor e montar um sistema de equações para cada autovalor.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um autovetor. Um autovetor $ \mathbf{v} $ de uma matriz $ M $ é um vetor não nulo que, quando multiplicado por $ M $, resulta em um múltiplo de si mesmo. Matemáticamente, isso é expresso por:
Onde $ \lambda $ é o autovalor correspondente.
Passo 3
Rearranjando a equação acima, temos:
Isso pode ser escrito como:
Aqui, $ I $ é a matriz identidade do mesmo tamanho que $ M $.
Passo 4
Para encontrar o autovetor $ \mathbf{v} $, precisamos resolver o sistema homogêneo:
Esse sistema não trivial (ou seja, com $ \mathbf{v} \neq \mathbf{0} $) tem soluções se e somente se o determinante de $ (M - \lambda I) $ for zero, o que já sabemos que ocorre porque $ \lambda $ é um autovalor.
Passo 5
Agora, para cada autovalor $ \lambda_i $, substituímos na matriz $ M - \lambda_i I $ e resolvemos o sistema de equações resultante para encontrar os componentes do autovetor $ \mathbf{v} $.
Passo 6
Vamos ver um exemplo simplificado. Suponha que temos um autovalor $ \lambda = 2 $ e a seguinte matriz $ M $:
Substituindo na equação $ M - \lambda I $:
Passo 7
Agora, montamos o sistema de equações:
A segunda equação não nos dá nenhuma informação, então focamos na primeira:
Podemos escolher $ x = 1 $, então $ y = -1 $. Portanto, um autovetor correspondente a $ \lambda = 2 $ é:
Resposta
O autovetor correspondente ao autovalor $ \lambda = 2 $ é $ \mathbf{v} =
$. Para cada autovalor de $ M $, segue esse processo para encontrar os respectivos autovetores.