Depois de encontrar os autovalores lambdai de M, encontre os autovetores respectivos associados aos autovalores.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem uma matriz $ M $ e já encontrou os seus autovalores $ \lambda_i $. Agora, o objetivo é encontrar os autovetores correspondentes a cada um desses autovalores. Estamos trabalhando com álgebra linear, especificamente com conceitos de autovalores e autovetores. Para isso, vamos precisar usar a definição de autovetor e montar um sistema de equações para cada autovalor.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um autovetor. Um autovetor $ \mathbf{v} $ de uma matriz $ M $ é um vetor não nulo que, quando multiplicado por $ M $, resulta em um múltiplo de si mesmo. Matemáticamente, isso é expresso por:
v
Onde $ \lambda $ é o autovalor correspondente.

Passo 3

Rearranjando a equação acima, temos:
M v - lambda v = 0
Isso pode ser escrito como:
(M - lambda I) v = 0
Aqui, $ I $ é a matriz identidade do mesmo tamanho que $ M $.

Passo 4

Para encontrar o autovetor $ \mathbf{v} $, precisamos resolver o sistema homogêneo:
v
Esse sistema não trivial (ou seja, com $ \mathbf{v} \neq \mathbf{0} $) tem soluções se e somente se o determinante de $ (M - \lambda I) $ for zero, o que já sabemos que ocorre porque $ \lambda $ é um autovalor.

Passo 5

Agora, para cada autovalor $ \lambda_i $, substituímos na matriz $ M - \lambda_i I $ e resolvemos o sistema de equações resultante para encontrar os componentes do autovetor $ \mathbf{v} $.

Passo 6

Vamos ver um exemplo simplificado. Suponha que temos um autovalor $ \lambda = 2 $ e a seguinte matriz $ M $:
lambda = 2
Substituindo na equação $ M - \lambda I $:
M

Passo 7

Agora, montamos o sistema de equações:
1x + 1y = 0 0x + 0y = 0
A segunda equação não nos dá nenhuma informação, então focamos na primeira:
x + y = 0 implies y = -x
Podemos escolher $ x = 1 $, então $ y = -1 $. Portanto, um autovetor correspondente a $ \lambda = 2 $ é:
x = 1

Resposta

O autovetor correspondente ao autovalor $ \lambda = 2 $ é $ \mathbf{v} = lambda = 2 $. Para cada autovalor de $ M $, segue esse processo para encontrar os respectivos autovetores.

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