Encontre a quádrica, usando os passos do apêndice.
APÊNDICE: Passos para identificar uma forma quadrática
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me trouxe a equação e pediu para encontrar a quadrádica usando os passos do apêndice. A matéria que estamos lidando aqui é a Geometria Analítica, mais especificamente o estudo das superfícies quadráticas ou quadrádicas. Para resolver isso, vamos precisar entender como identificar e classificar essas superfícies a partir de suas equações.
Passo 2
Primeiro, vamos organizar a equação dada de uma forma que fique mais fácil de identificar a quadrádica. A equação está assim:
Notamos que é uma equação de segundo grau com termos mistos (como , e ). Para facilitar a análise, vamos reescrever a equação agrupando os termos semelhantes:
Passo 3
Agora, vamos representar essa equação em forma matricial. Isso ajuda a identificar as características da quadrádica. A forma geral de uma equação quadrática em três variáveis é:
Comparando com a nossa equação, temos:
A matriz associada a essa forma quadrática é:
$$
$$
Passo 4
Para identificar o tipo de quadrádica, vamos calcular o determinante dessa matriz. O determinante nos dá informações sobre a natureza da superfície.
Com o determinante sendo diferente de zero (Det = -88 neq 0), sabemos que a quadrádica é um hiperboloide de uma folha. Isso porque o determinante negativo indica que temos uma superfície com duas assinaturas diferentes na matriz (positivo e negativo), característica dos hiperboloides.
Resposta
A quadrádica representada pela equação 5y^2 + 2xy - 8xz + 2yz = 0 é um hiperboloide de uma folha.