Encontre a quádrica, usando os passos do apêndice.
5 y^2+2 x y-8 x z+2 y z=0
APÊNDICE: Passos para identificar uma forma quadrática

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me trouxe a equação 5y^2 + 2xy - 8xz + 2yz = 0 e pediu para encontrar a quadrádica usando os passos do apêndice. A matéria que estamos lidando aqui é a Geometria Analítica, mais especificamente o estudo das superfícies quadráticas ou quadrádicas. Para resolver isso, vamos precisar entender como identificar e classificar essas superfícies a partir de suas equações.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar a equação dada de uma forma que fique mais fácil de identificar a quadrádica. A equação está assim:
5y^2 + 2xy - 8xz + 2yz = 0
Notamos que é uma equação de segundo grau com termos mistos (como xy, xz e yz). Para facilitar a análise, vamos reescrever a equação agrupando os termos semelhantes:
0x^2 + 5y^2 + 0z^2 + 2xy - 8xz + 2yz = 0

Passo 3

Agora, vamos representar essa equação em forma matricial. Isso ajuda a identificar as características da quadrádica. A forma geral de uma equação quadrática em três variáveis é:
Ax^2 + By^2 + Cz^2 + Dxy + Exz + Fyz = 0
Comparando com a nossa equação, temos:
  • A = 0
  • B = 5
  • C = 0
  • D = 2
  • E = -8
  • F = 2
A matriz associada a essa forma quadrática é:

$$
A & D2 & E2 D2 & B & F2 E2 & F2 & C = 0 & 1 & -4 1 & 5 & 1 -4 & 1 & 0

$$

Passo 4

Para identificar o tipo de quadrádica, vamos calcular o determinante dessa matriz. O determinante nos dá informações sobre a natureza da superfície.
Calculando o determinante:
Det = 0 cdot 5 & 1 1 & 0 - 1 cdot 1 & 1 -4 & 0 - 4 cdot 1 & 5 -4 & 1
= 0 (5 cdot 0 - 1 cdot 1) - 1 (1 cdot 0 - 1 cdot (-4)) - 4 (1 cdot 1 - 5 cdot (-4))
= 0 - 1 (0 + 4) - 4 (1 + 20)
= 0 - 4 - 84 = -88

Passo 5

Com o determinante sendo diferente de zero ( Det = -88 neq 0), sabemos que a quadrádica é um hiperboloide de uma folha. Isso porque o determinante negativo indica que temos uma superfície com duas assinaturas diferentes na matriz (positivo e negativo), característica dos hiperboloides.

Resposta

A quadrádica representada pela equação 5y^2 + 2xy - 8xz + 2yz = 0 é um hiperboloide de uma folha.

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