Encontre a cônica, usando os passos do apêndice.
4 x y+3 y^2+2 raiz5 x+4 raiz5 y=0

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no problema que você trouxe. Você precisa identificar que tipo de cônica está representada pela equação 4xy + 3y^2 + 2 raiz5 x + 4 raiz5 y = 0. Para isso, vamos usar conceitos do estudo das cônicas, envolvendo análise de coeficientes e cálculo de discriminantes. Vamos precisar entender a forma geral das equações de segunda ordem e como classificar as cônicas com base nos coeficientes.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação na forma geral das cônicas:
Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0
No seu caso, a equação é:
4xy + 3y^2 + 2 raiz5 x + 4 raiz5 y = 0
Aqui, identificamos os coeficientes:
  • A = 0 (Não há termo x^2)
  • B = 4
  • C = 3
  • D = 2 raiz5
  • E = 4 raiz5
  • F = 0

Passo 3

Agora, para classificar a cônica, usamos o discriminante, que é calculado pela fórmula:
De
Vamos calcular:
De

Passo 4

Com o valor do discriminante, podemos identificar a cônica:
  • Se De 0, a cônica é uma hipérbole.
  • Se De, é uma parábola.
  • Se De, é uma elipse. Se A = C e B = 0, é um círculo.
No nosso caso, De 0, então a cônica é uma hipérbole.

Passo 5

Além disso, podemos analisar o termo Bxy para entender melhor a orientação da hipérbole. Como B neq 0, a hipérbole está inclinada em relação aos eixos coordenados, o que significa que precisamos realizar uma rotação de eixos para encontrar sua forma padrão. Porém, para este exercício, apenas identificar o tipo da cônica já atende ao solicitado.

Resposta

A equação 4xy + 3y^2 + 2 raiz5 x + 4 raiz5 y = 0 representa uma hipérbole.

Exercícios relacionados