Encontrar uma base e a dimensão do espaço solução do sistema linear homogêneo
r 4 x+3 y-z+5 t=0 2 x-y+z-t=0 6 x+2 y+4 t=0

Passo 1

O enunciado pede a base e a dimensão do espaço solução do sistema linear homogêneo
4x + 3y - z +5t = 0, 2x - y + z - t = 0, 6x + 2y +4t = 0
O conteúdo é resolução de sistemas lineares homogêneos por eliminação de Gauss, encontrando variáveis livres e expressando a solução geral.

Passo 2

Montamos a matriz aumentada (coluna de zeros omitida) e aplicamos eliminação:
4 & 3 & -1 & 5 2 & -1 & 1 & -1 6 & 2 & 0 & 4
Subtraindo 2 cdot(linha 2) da linha 1 e 3 cdot(linha 2) da linha 3, obtemos
0 & 5 & -3 & 7 2 & -1 & 1 & -1 0 & 5 & -3 & 7
Depois eliminamos a linha 3 subtraindo a linha 1, ficando duas equações independentes.

Passo 3

As equações reduzidas são
2x - y + z - t = 0, 5y -3z +7t = 0
Temos quatro incógnitas e duas equações, logo duas variáveis livres. Tomamos z e t como livres:
;z = s,;t = u
Da segunda equação segue
y = 3s - 7u5,
e da primeira,
2x = y - z + t Longrightarrow x = y - z + t2 = -s+u5

Passo 4

Portanto a solução geral é
(x,y,z,t) = l(-tfracs+u5,,tfrac3s-7u5,,s,,ur) = sl(-tfrac15,;tfrac35,;1,,0r) +ul(-tfrac15,;-tfrac75,;0,,1r)
Para evitar frações, reparametrizamos escolhendo s=5p e u=5q, obtendo
(x,y,z,t) = p(-1,,3,,5,,0)+q(-1,,-7,,0,,5)
Dessa forma a base fica com vetores inteiros.

Passo 5

Os dois vetores obtidos são linearmente independentes e geram todo o espaço solução, logo a dimensão do espaço solução é 2.

Resposta

Uma base é
,(-1,,3,,5,,0),;(-1,,-7,,0,,5),
e a dimensão do espaço solução é 2.

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