Encontrar uma base e a dimensão do espaço solução do sistema linear homogêneo
Passo 1
O enunciado pede a base e a dimensão do espaço solução do sistema linear homogêneo
O conteúdo é resolução de sistemas lineares homogêneos por eliminação de Gauss, encontrando variáveis livres e expressando a solução geral.
Passo 2
Montamos a matriz aumentada (coluna de zeros omitida) e aplicamos eliminação:
Subtraindo
2 cdot (linha
2 ) da linha
1 e
3 cdot (linha
2 ) da linha
3 , obtemos
Depois eliminamos a linha
3 subtraindo a linha
1 , ficando duas equações independentes.
Passo 3
As equações reduzidas são
Temos quatro incógnitas e duas equações, logo duas variáveis livres. Tomamos
z e
t como livres:
;z = s,;t = u
Da segunda equação segue
Da segunda equação segue
e da primeira,
Passo 4
Portanto a solução geral é
Para evitar frações, reparametrizamos escolhendo
s=5p e
u=5q , obtendo
Dessa forma a base fica com vetores inteiros.
Passo 5
Os dois vetores obtidos são linearmente independentes e geram todo o espaço solução, logo a dimensão do espaço solução é
2 .
Resposta
Uma base é
e a dimensão do espaço solução é
2 .