Encontre os vértices e os focos da elipse e esboce seu gráfico.
x^{2}+3 y^{2}+2 x-12 y+10=0

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (1) encontrar os vértices da elipse e (2) encontrar os focos da elipse, além de esboçar o gráfico. A equação dada é
x^{2}+3y^{2}+2x-12y+10=0.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado: os coeficientes dos termos quadráticos e lineares em x e y estão explícitos na equação acima. A partir disso precisamos transformar a equação numa forma padrão de elipse para identificar centro, semieixos, vértices e focos.

Passo 2

Primeiro passo técnico: agrupar termos em x e em y e completar o quadrado. Agrupando,
x^{2}+2x \quad\text{e}\quad 3y^{2}-12y.
Vou completar o quadrado em cada grupo.
Para x: a expressão é x^{2}+2x. Complete o quadrado adicionando e subtraindo (1)^{2} porque \frac{2}{2}=1:
x^{2}+2x=(x+1)^{2}-1.

Passo 3

Para y: observe que há fator 3 multiplicando y^{2}-4y. Então escrevo
3y^{2}-12y = 3\bigl(y^{2}-4y\bigr).
Complete o quadrado dentro do parêntese: \frac{-4}{2}=-2 e (-2)^{2}=4. Logo
y^{2}-4y=(y-2)^{2}-4,
e
3\bigl(y^{2}-4y\bigr)=3\bigl((y-2)^{2}-4\bigr)=3(y-2)^{2}-12.

Passo 4

Substituindo as formas completadas na equação original:
(x+1)^{2}-1 + \bigl(3(y-2)^{2}-12\bigr) + 10 = 0.
Some os termos constantes -1-12+10=-3. Portanto
(x+1)^{2}+3(y-2)^{2}-3=0.
Isolando o termo constante para obter o lado direito 1,
(x+1)^{2}+3(y-2)^{2}=3.
Divido ambos os lados por 3 para obter a forma padrão:
\frac{(x+1)^{2}}{3}+\frac{(y-2)^{2}}{1}=1.

Passo 5

Interpretação da forma padrão: a equação está na forma
\frac{(x-h)^{2}}{a^{2}}+\frac{(y-k)^{2}}{b^{2}}=1,
onde (h,k) é o centro, a^{2} e b^{2} são os quadrados dos semieixos. Comparando com \frac{(x+1)^{2}}{3}+\frac{(y-2)^{2}}{1}=1, temos:
  • Centro: (h,k)=(-1,2).
  • Denominadores: a^{2}=3 e b^{2}=1.
Agora é preciso decidir qual é a (semieixo maior) e qual é b (semieixo menor). O semieixo maior corresponde ao maior denominador. Aqui a^{2}=3>b^{2}=1, então a=\sqrt{3} (eixo maior paralelo ao eixo x) e b=1 (eixo menor paralelo ao eixo y).

Passo 6

Fórmula para os focos: para uma elipse com eixo maior horizontal (como aqui), os focos estão a uma distância c do centro ao longo do eixo x, com
c^{2}=a^{2}-b^{2}.
Substituindo a^{2}=3 e b^{2}=1,
c^{2}=3-1=2 \quad\Rightarrow\quad c=\sqrt{2}.
Como o eixo maior é horizontal, os focos são
(h\pm c,\,k)=(-1\pm\sqrt{2},\,2).

Passo 7

Vértices: os vértices principais (os extremos do eixo maior) ficam a distância a=\sqrt{3} do centro ao longo do eixo x. Portanto os dois vértices principais são
(-1-\sqrt{3},\,2)\quad\text{e}\quad(-1+\sqrt{3},\,2).
Co-vértices (extremos do eixo menor), caso queira todos os quatro pontos importantes da elipse: ficam a distância b=1 do centro ao longo do eixo y, então são
(-1,\,2-1)=(-1,\,1)\quad\text{e}\quad(-1,\,2+1)=(-1,\,3).

Passo 8

Como esboçar o gráfico (passo a passo prático para a prova):
  • Marque o centro em (-1,2).
  • Trace o segmento horizontal de comprimento 2a=2\sqrt{3} centrado no centro; os seus extremos são os vértices (-1\pm\sqrt{3},2).
  • Trace o segmento vertical de comprimento 2b=2 centrado no centro; os seus extremos são os co-vértices (-1,1) e (-1,3).
  • Desenhe a elipse passando suavemente por esses quatro pontos, mais larga no sentido horizontal.
  • Marque os focos (-1\pm\sqrt{2},2) no interior da elipse ao longo do eixo maior, mais próximos do centro do que os vértices.
  • Dica visual: pode desenhar o retângulo com semi-eixos a e b e em seguida “encaixar” a elipse tocando os lados do retângulo nos pontos médios para obter uma boa forma.

Resposta

Vértices (eixo maior): (-1-\sqrt{3},\,2),\;(-1+\sqrt{3},\,2)
Co-vértices (eixo menor): (-1,\,1),\;(-1,\,3)
Focos: (-1-\sqrt{2},\,2),\;(-1+\sqrt{2},\,2)

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