Encontre os vértices e os focos da elipse e esboce seu gráfico.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: (1) encontrar os vértices da elipse e (2) encontrar os focos da elipse, além de esboçar o gráfico. A equação dada é
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado: os coeficientes dos termos quadráticos e lineares em
e
estão explícitos na equação acima. A partir disso precisamos transformar a equação numa forma padrão de elipse para identificar centro, semieixos, vértices e focos.
Passo 2
Primeiro passo técnico: agrupar termos em
e em
e completar o quadrado. Agrupando,
Vou completar o quadrado em cada grupo.
Para
: a expressão é
. Complete o quadrado adicionando e subtraindo
porque
:
Passo 3
Para
: observe que há fator
multiplicando
. Então escrevo
Complete o quadrado dentro do parêntese:
e
. Logo
e
Passo 4
Substituindo as formas completadas na equação original:
Some os termos constantes
. Portanto
Isolando o termo constante para obter o lado direito
,
Divido ambos os lados por
para obter a forma padrão:
Passo 5
Interpretação da forma padrão: a equação está na forma
onde
é o centro,
e
são os quadrados dos semieixos. Comparando com
, temos:
- Centro:
. - Denominadores:
e .
Agora é preciso decidir qual é
(semieixo maior) e qual é
(semieixo menor). O semieixo maior corresponde ao maior denominador. Aqui
, então
(eixo maior paralelo ao eixo
) e
(eixo menor paralelo ao eixo
).
Passo 6
Fórmula para os focos: para uma elipse com eixo maior horizontal (como aqui), os focos estão a uma distância
do centro ao longo do eixo
, com
Substituindo
e
,
Como o eixo maior é horizontal, os focos são
Passo 7
Vértices: os vértices principais (os extremos do eixo maior) ficam a distância
do centro ao longo do eixo
. Portanto os dois vértices principais são
Co-vértices (extremos do eixo menor), caso queira todos os quatro pontos importantes da elipse: ficam a distância
do centro ao longo do eixo
, então são
Passo 8
Como esboçar o gráfico (passo a passo prático para a prova):
- Marque o centro em
. - Trace o segmento horizontal de comprimento
centrado no centro; os seus extremos são os vértices . - Trace o segmento vertical de comprimento
centrado no centro; os seus extremos são os co-vértices e . - Desenhe a elipse passando suavemente por esses quatro pontos, mais larga no sentido horizontal.
- Marque os focos
no interior da elipse ao longo do eixo maior, mais próximos do centro do que os vértices. - Dica visual: pode desenhar o retângulo com semi-eixos
e e em seguida “encaixar” a elipse tocando os lados do retângulo nos pontos médios para obter uma boa forma.
Resposta
Vértices (eixo maior):
Co-vértices (eixo menor):
Focos:
Co-vértices (eixo menor):
Focos: