Encontrar o comprimento de arco da curva dada.
, de
até
Passo 1
Vamos achar o comprimento de arco da curva polar r = 3θ² para θ de 0 até 2π/3. O conteúdo aqui é comprimento de arco em coordenadas polares, e vamos precisar de r(θ) e de sua derivada.
Passo 2
Derivando r(θ) = 3θ², achamos
Passo 3
A fórmula do comprimento de arco em polares é
Substituindo r e r’, temos
Passo 4
Fatorando dentro da raiz:
logo
ei que θ≥0 no intervalo.
Passo 5
Precisamos integrar
Fazendo a substituição u = θ²+4 ⇒ du = 2θ dθ, obtemos
Passo 6
Agora avaliamos de 0 a 2π/3:
Como (2π/3)² = 4π²/9, temos (2π/3)²+4 = 4(π²+9)/9, então
Resposta
L = \frac{8(\pi2+9){3/2}}{27} - 8