Encontrar o comprimento de arco da curva dada.
r=3 theta^2, de theta=0 até theta=2 pi / 3

Passo 1

Vamos achar o comprimento de arco da curva polar r = 3θ² para θ de 0 até 2π/3. O conteúdo aqui é comprimento de arco em coordenadas polares, e vamos precisar de r(θ) e de sua derivada.

Passo 2

Derivando r(θ) = 3θ², achamos
drdtheta = 6theta

Passo 3

A fórmula do comprimento de arco em polares é
L = integral0^2pi/3 raizr(theta)^2 + l(r'(theta)r)^2,dtheta
Substituindo r e r’, temos
L = integral0^2pi/3 raiz9theta^4 + 36theta^2,dtheta

Passo 4

Fatorando dentro da raiz:
9theta^4 + 36theta^2 = 9theta^2(theta^2 + 4),
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raiz9theta^4 + 36theta^2 = 3thetaraiztheta^2+4,
ei que θ≥0 no intervalo.

Passo 5

Precisamos integrar
integral 3thetaraiztheta^2+4,dtheta
Fazendo a substituição u = θ²+4 ⇒ du = 2θ dθ, obtemos
integral 3thetaraizu,du2theta = 32integral u^1/2,du = u^3/2 = (theta^2+4)^3/2

Passo 6

Agora avaliamos de 0 a 2π/3:
L = l[(theta^2+4)^3/2r]0^2pi/3 = l((2pi/3)^2+4r)^3/2 - 4^3/2
Como (2π/3)² = 4π²/9, temos (2π/3)²+4 = 4(π²+9)/9, então
L = (4(pi^2+9)9)^3/2 - 8 = 8(pi^2+9)^3/227 - 8

Resposta

L = \frac{8(\pi2+9){3/2}}{27} - 8

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