Encontre a derivada das funções algébricas abaixo. Simplifique o resultado final quando possível.
(0,5 pt) h(r)=(2r^2-3r^3)(2 r+5 r^3)

Passo 1

Primeiro, resumindo o problema: queremos a derivada de
h(r)=l(2r^2-3r^3r),(2r+5r^3)
Isso é um produto de duas funções de r, então vamos usar a regra do produto junto com a regra do poder.

Passo 2

Para facilitar, reescrevemos cada parte em potências:
2r^2=2r^-2, 3r^3=3r^-3
Definimos então
f(r)=2r^-2-3r^-3, g(r)=2r+5r^3

Passo 3

Aplicando a regra do poder ( ddrr^n=n r^n-1), obtemos as derivadas:
f'(r)=-4r^-3+9r^-4, g'(r)=2+15r^2

Passo 4

Agora a regra do produto diz
h'(r)=f'(r),g(r)+f(r),g'(r)
Substituindo cada termo temos
f'(r),g(r)=(-4r^-3+9r^-4)(2r+5r^3),
f(r),g'(r)=(2r^-2-3r^-3)(2+15r^2)
Fazendo as multiplicações e somando, chegamos a

Passo 5

Organizando termos semelhantes em potências de r, vemos que os r^-1 se cancelam e sobra
h'(r)=12r^-3-4r^-2+10
Para deixar como uma única fração, colocamos tudo sobre r^3:
h'(r)=10r^3-4r+12r^3

Resposta

10r^3-4r+12r^3

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