Encontrar o comprimento de arco da curva dada:
x=\frac{1}{3} \sqrt{y}(y-3), 1 \leq y \leq 9

Passo 1

O enunciado dá a curva definida pela expressão
x=\frac{1}{3}\sqrt{y}\,(y-3),
no intervalo \,1\le y\le 9. A pergunta é: encontrar o comprimento de arco da curva entre y=1 e y=9.
Informações relevantes dadas:
  • A curva está descrita como x em função de y: x=x(y).
  • O intervalo para y é [1,9].
  • Precisamos do comprimento de arco da curva nesse intervalo.

Passo 2

Fórmula que vamos usar (explicação intuitiva): para uma curva dada por x=x(y) em um intervalo [y_1,y_2], um pequeno segmento de arco tem comprimento aproximado \sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}. Dividindo por \Delta y e passando ao limite obtemos a fórmula do comprimento de arco em termos de y:
L=\int_{y_1}^{y_2}\sqrt{1+\left(\frac{dx}{dy}\right)^2}\,dy.
Aqui \frac{dx}{dy} é a derivada de x em relação a y; o integrando \sqrt{1+(\frac{dx}{dy})^2} mede a “inclinação” do pequeno segmento em relação ao eixo y.

Passo 3

Vamos calcular \frac{dx}{dy}. Primeiro reescrevo x usando potências:
x=\frac{1}{3}\bigl(y^{3/2}-3y^{1/2}\bigr).
Agora aplico a regra de potência: se f(y)=y^{n} então f'(y)=n y^{n-1}. Aplicando termo a termo,
\frac{dx}{dy}=\frac{1}{3}\Bigl(\frac{3}{2}y^{1/2}-3\cdot\frac{1}{2}y^{-1/2}\Bigr).
Simplificando os coeficientes:
\frac{dx}{dy}=\frac{1}{3}\cdot\frac{3}{2}\bigl(y^{1/2}-y^{-1/2}\bigr)=\frac{1}{2}\bigl(y^{1/2}-y^{-1/2}\bigr).

Passo 4

Agora elevamos ao quadrado para aparecer dentro da raiz da fórmula do comprimento:
\left(\frac{dx}{dy}\right)^2=\frac{1}{4}\bigl(y^{1/2}-y^{-1/2}\bigr)^2.
Expandindo (a-b)^2=a^2-2ab+b^2 com a=y^{1/2}, b=y^{-1/2}:
\left(\frac{dx}{dy}\right)^2=\frac{1}{4}\bigl(y - 2 + \tfrac{1}{y}\bigr)=\frac{1}{4}\cdot\frac{(y-1)^2}{y}.

Passo 5

Somamos 1 a esse quadrado para formar o integrando:
1+\left(\frac{dx}{dy}\right)^2=1+\frac{1}{4}\cdot\frac{(y-1)^2}{y}.
Colocando com denominador comum:
1+\left(\frac{dx}{dy}\right)^2=\frac{1}{4}\cdot\frac{4y+(y-1)^2}{y}=\frac{1}{4}\cdot\frac{y^2+2y+1}{y}=\frac{1}{4}\cdot\frac{(y+1)^2}{y}.
Agora extraio a raiz quadrada. Observação importante: |y+1|=y+1 porque y\ge 1, e \sqrt{y}>0. Portanto
\sqrt{1+\left(\frac{dx}{dy}\right)^2}=\frac{1}{2}\cdot\frac{y+1}{\sqrt{y}}.

Passo 6

Simplifico o integrando escrevendo em potências:
\frac{1}{2}\cdot\frac{y+1}{\sqrt{y}}=\frac{1}{2}\bigl(y^{1/2}+y^{-1/2}\bigr).
Assim o comprimento de arco é
L=\int_{1}^{9}\sqrt{1+\left(\frac{dx}{dy}\right)^2}\,dy=\frac{1}{2}\int_{1}^{9}\bigl(y^{1/2}+y^{-1/2}\bigr)\,dy.

Passo 7

Integro termo a termo. Regra de potência para integrais: \int y^{n}\,dy=\dfrac{y^{n+1}}{n+1} para n\neq -1, e \int y^{-1/2}\,dy=2y^{1/2}.
Calculo a antiderivada:
\frac{1}{2}\int\bigl(y^{1/2}+y^{-1/2}\bigr)\,dy=\frac{1}{2}\Bigl(\frac{2}{3}y^{3/2}+2y^{1/2}\Bigr).
Simplificando o fator \tfrac{1}{2}:
\text{Primitiva}=\frac{1}{3}y^{3/2}+y^{1/2}.

Passo 8

Avalio a primitiva nos limites 1 e 9:
  • Para y=9: y^{1/2}=3 e y^{3/2}=27. Portanto
\frac{1}{3}\cdot 27 + 3 = 9+3=12.
  • Para y=1: y^{1/2}=1 e y^{3/2}=1. Portanto
\frac{1}{3}\cdot 1 + 1 = \frac{1}{3}+1=\frac{4}{3}.
Subtraindo:
L=12-\frac{4}{3}=\frac{36-4}{3}=\frac{32}{3}.

Resposta

\displaystyle \frac{32}{3}

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