Encontrar o comprimento de arco da curva dada:
Passo 1
O enunciado dá a curva definida pela expressão
no intervalo
. A pergunta é: encontrar o comprimento de arco da curva entre
e
.
Informações relevantes dadas:
- A curva está descrita como
em função de : . - O intervalo para
é . - Precisamos do comprimento de arco da curva nesse intervalo.
Passo 2
Fórmula que vamos usar (explicação intuitiva): para uma curva dada por
em um intervalo
, um pequeno segmento de arco tem comprimento aproximado
. Dividindo por
e passando ao limite obtemos a fórmula do comprimento de arco em termos de
:
Aqui
é a derivada de
em relação a
; o integrando
mede a “inclinação” do pequeno segmento em relação ao eixo
.
Passo 3
Vamos calcular
. Primeiro reescrevo
usando potências:
Agora aplico a regra de potência: se
então
. Aplicando termo a termo,
Simplificando os coeficientes:
Passo 4
Agora elevamos ao quadrado para aparecer dentro da raiz da fórmula do comprimento:
Expandindo
com
,
:
Passo 5
Somamos
a esse quadrado para formar o integrando:
Colocando com denominador comum:
Agora extraio a raiz quadrada. Observação importante:
porque
, e
. Portanto
Passo 6
Simplifico o integrando escrevendo em potências:
Assim o comprimento de arco é
Passo 7
Integro termo a termo. Regra de potência para integrais:
para
, e
.
Calculo a antiderivada:
Calculo a antiderivada:
Simplificando o fator
:
Passo 8
Avalio a primitiva nos limites
e
:
- Para
: e . Portanto
- Para
: e . Portanto
Subtraindo: