Encontrar o comprimento de arco da curva dada:
y=\frac{x^{2}}{2}-\frac{\ln x}{4}, 2 \leq x \leq 4

Passo 1

O enunciado pede o comprimento de arco da curva dada por y=\dfrac{x^{2}}{2}-\dfrac{\ln x}{4} no intervalo [2,4].\n
Informações relevantes fornecidas:
y(x)=\frac{x^{2}}{2}-\frac{\ln x}{4},\qquad x\in[2,4].
A pergunta é: qual é o comprimento da curva entre x=2 e x=4?

Passo 2

A fórmula que usamos para comprimento de arco de uma função y=f(x) suave em [a,b] é
L=\int_{a}^{b}\sqrt{1+\bigl(f'(x)\bigr)^{2}}\,dx.
Explicando: L é o comprimento, a e b são as abscissas inicial e final, f'(x) é a derivada de f em relação a x, e a expressão dentro da raiz vem da soma dos quadrados dos elementos diferenciais (Pitagoras na aproximação por segmentos). Aqui a=2 e b=4.

Passo 3

Precisamos calcular a derivada de y. Usamos regras básicas:
  • Regra do poder: \dfrac{d}{dx}\bigl(\dfrac{x^{2}}{2}\bigr)=x.
  • Derivada do logaritmo: \dfrac{d}{dx}(\ln x)=\dfrac{1}{x}.
Portanto,
y' = \frac{d}{dx}\left(\frac{x^{2}}{2}-\frac{\ln x}{4}\right) = x - \frac{1}{4x}.
Para manipular melhor, podemos escrever como fração comum:
y' = x - \frac{1}{4x}=\frac{4x^{2}-1}{4x}.

Passo 4

Agora calculamos \bigl(y'\bigr)^{2}. Faço o quadrado de x-\dfrac{1}{4x}:
\bigl(y'\bigr)^{2}=\left(x-\frac{1}{4x}\right)^{2} = x^{2} -2\cdot x\cdot\frac{1}{4x} + \frac{1}{16x^{2}} = x^{2} - \frac{1}{2} + \frac{1}{16x^{2}}.

Passo 5

Somamos 1+\bigl(y'\bigr)^{2}:
1+\bigl(y'\bigr)^{2}=1+\left(x^{2}-\frac{1}{2}+\frac{1}{16x^{2}}\right) = x^{2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{16x^{2}}.
Agora note que isso é exatamente o quadrado da expressão x+\dfrac{1}{4x}, porque
\left(x+\frac{1}{4x}\right)^{2}=x^{2}+2\cdot x\cdot\frac{1}{4x}+\frac{1}{16x^{2}} = x^{2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{16x^{2}}.
Logo
1+\bigl(y'\bigr)^{2}=\left(x+\frac{1}{4x}\right)^{2}.

Passo 6

A raiz quadrada da expressão anterior é \sqrt{1+(y')^{2}}=\left|x+\dfrac{1}{4x}\right|. No intervalo dado temos x\in[2,4], então x>0 e x+\dfrac{1}{4x}>0. Portanto podemos tirar o valor absoluto:
\sqrt{1+\bigl(y'\bigr)^{2}}=x+\frac{1}{4x}.
Assim o comprimento de arco é
L=\int_{2}^{4}\left(x+\frac{1}{4x}\right)dx.

Passo 7

Integramos termo a termo:
  • \displaystyle\int x\,dx=\frac{x^{2}}{2}.
  • \displaystyle\int\frac{1}{4x}\,dx=\frac{1}{4}\int\frac{1}{x}\,dx=\frac{1}{4}\ln x.
Logo a primitiva é \dfrac{x^{2}}{2}+\dfrac{1}{4}\ln x. Avaliando de 2 a 4:
L=\left[\frac{x^{2}}{2}+\frac{1}{4}\ln x\right]_{2}^{4} =\left(\frac{4^{2}}{2}+\frac{1}{4}\ln 4\right)-\left(\frac{2^{2}}{2}+\frac{1}{4}\ln 2\right).

Passo 8

Calculo numérico simbólico dos termos:
\frac{4^{2}}{2}= \frac{16}{2}=8,\qquad \frac{2^{2}}{2}=\frac{4}{2}=2.
Para os logaritmos usamos \ln 4=\ln(2^{2})=2\ln 2. Assim
\frac{1}{4}\ln 4 - \frac{1}{4}\ln 2 = \frac{1}{4}(2\ln 2 - \ln 2)=\frac{1}{4}\ln 2.
Somando as partes:
L=(8-2)+\frac{1}{4}\ln 2=6+\frac{1}{4}\ln 2.

Resposta

6+\frac{1}{4}\ln 2

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