A pergunta é: qual é o comprimento da curva entre x=2 e x=4?
Passo 2
A fórmula que usamos para comprimento de arco de uma função y=f(x) suave em [a,b] é
L=\int_{a}^{b}\sqrt{1+\bigl(f'(x)\bigr)^{2}}\,dx.
Explicando: L é o comprimento, a e b são as abscissas inicial e final, f'(x) é a derivada de f em relação a x, e a expressão dentro da raiz vem da soma dos quadrados dos elementos diferenciais (Pitagoras na aproximação por segmentos). Aqui a=2 e b=4.
Passo 3
Precisamos calcular a derivada de y. Usamos regras básicas:
Regra do poder: \dfrac{d}{dx}\bigl(\dfrac{x^{2}}{2}\bigr)=x.
Derivada do logaritmo: \dfrac{d}{dx}(\ln x)=\dfrac{1}{x}.
Portanto,
y' = \frac{d}{dx}\left(\frac{x^{2}}{2}-\frac{\ln x}{4}\right) = x - \frac{1}{4x}.
Para manipular melhor, podemos escrever como fração comum:
y' = x - \frac{1}{4x}=\frac{4x^{2}-1}{4x}.
Passo 4
Agora calculamos \bigl(y'\bigr)^{2}. Faço o quadrado de x-\dfrac{1}{4x}:
A raiz quadrada da expressão anterior é \sqrt{1+(y')^{2}}=\left|x+\dfrac{1}{4x}\right|. No intervalo dado temos x\in[2,4], então x>0 e x+\dfrac{1}{4x}>0. Portanto podemos tirar o valor absoluto: