Encontrar o comprimento de arco da curva dada: y=\ln \left(\frac{e^{x}+1}{e^{x}-1}\right), a \leq x \leq b
Passo 1
O enunciado dá a curva
y=\ln\!\left(\frac{e^{x}+1}{e^{x}-1}\right)
no intervalo \,a\le x\le b. A pergunta é: encontrar o comprimento de arco dessa curva nesse intervalo.
Informações relevantes que o enunciado fornece e que devemos notar:
A função está escrita em termos de e^{x}.
É preciso lembrar que \,e^{x}-1\neq 0, logo a função não está definida em x=0. Isso significa que o intervalo [a,b] não pode conter 0 — se contivesse, a curva e o comprimento não seriam bem definidos (há uma singularidade).
O comprimento de arco de uma curva y=y(x) é dado pela integral apropriada de \sqrt{1+(y')^{2}} em [a,b]. A partir daqui vamos calcular y', simplificar a raiz e integrar, com atenção ao sinal da função hiperbólica que aparecerá.
Passo 2
Derivando y passo a passo. Primeiro escrevo y como diferença de dois logaritmos para facilitar a derivada:
y=\ln(e^{x}+1)-\ln(e^{x}-1).
Usando a regra da cadeia e a regra \dfrac{d}{dx}\ln(u)=\dfrac{u'}{u}, derivamos cada termo. A derivada de e^{x} é e^{x}. Assim,
Recordando a definição da função seno hiperbólico \operatorname{sinh} x=\dfrac{e^{x}-e^{-x}}{2}, obtemos
y'=-\frac{1}{\operatorname{sinh} x}.
Pequena explicação/conferência: usei a definição \operatorname{sinh} x=(e^{x}-e^{-x})/2, então e^{x}-e^{-x}=2\operatorname{sinh} x. Substituindo deu o resultado acima.
Passo 3
Agora calculamos o integrando do comprimento de arco:
Uso a identidade hiperbólica fundamental \operatorname{cosh}^{2}x-\operatorname{sinh}^{2}x=1, que implica \operatorname{sinh}^{2}x+1=\operatorname{cosh}^{2}x. Assim
Lembrete importante: a função original não está definida em x=0. Portanto o intervalo [a,b] deve ficar inteiramente em (0,\infty) ou inteiramente em (-\infty,0). Não faz sentido integrar através de 0 aqui (haveria divergência). Então tratamos os dois casos separadamente:
Caso 1: 0<a<b. Então \operatorname{sinh} x>0 e \coth x>0 em [a,b], logo |\coth x|=\coth x.
Caso 2: a<b<0. Então \operatorname{sinh} x<0 e \coth x<0 em [a,b], logo |\coth x|=-\coth x.
Agora precisamos de uma primitiva de \coth x. Sabendo que \dfrac{d}{dx}\operatorname{sinh} x=\operatorname{cosh} x, obtemos
Isto funciona porque, se a e b têm o mesmo sinal, a razão \dfrac{\operatorname{sinh} b}{\operatorname{sinh} a} é positiva e o módulo dá o comprimento positivo. Reforço: não é possível aplicar essa fórmula se a<0<b, porque \operatorname{sinh} muda de sinal e a função original não está definida em 0.
Resposta
\displaystyle L=\left|\ln\!\left(\frac{\operatorname{sinh} b}{\operatorname{sinh} a}\right)\right|, válida desde que o intervalo [a,b] não contenha 0 (isto é, ou 0<a<b ou a<b<0).