Encontrar o comprimento de arco da curva dada:
y=\ln \left(\frac{e^{x}+1}{e^{x}-1}\right), a \leq x \leq b

Passo 1

O enunciado dá a curva
y=\ln\!\left(\frac{e^{x}+1}{e^{x}-1}\right)
no intervalo \,a\le x\le b. A pergunta é: encontrar o comprimento de arco dessa curva nesse intervalo.
Informações relevantes que o enunciado fornece e que devemos notar:
  • A função está escrita em termos de e^{x}.
  • É preciso lembrar que \,e^{x}-1\neq 0, logo a função não está definida em x=0. Isso significa que o intervalo [a,b] não pode conter 0 — se contivesse, a curva e o comprimento não seriam bem definidos (há uma singularidade).
  • O comprimento de arco de uma curva y=y(x) é dado pela integral apropriada de \sqrt{1+(y')^{2}} em [a,b]. A partir daqui vamos calcular y', simplificar a raiz e integrar, com atenção ao sinal da função hiperbólica que aparecerá.

Passo 2

Derivando y passo a passo. Primeiro escrevo y como diferença de dois logaritmos para facilitar a derivada:
y=\ln(e^{x}+1)-\ln(e^{x}-1).
Usando a regra da cadeia e a regra \dfrac{d}{dx}\ln(u)=\dfrac{u'}{u}, derivamos cada termo. A derivada de e^{x} é e^{x}. Assim,
y'=\frac{e^{x}}{e^{x}+1}-\frac{e^{x}}{e^{x}-1}.
Agora somamos as frações. Faço isso com calma:
y' = e^{x}\!\left(\frac{1}{e^{x}+1}-\frac{1}{e^{x}-1}\right) = e^{x}\!\left(\frac{e^{x}-1-(e^{x}+1)}{(e^{x}+1)(e^{x}-1)}\right).
No numerador: e^{x}-1-(e^{x}+1)=-2. No denominador: (e^{x}+1)(e^{x}-1)=e^{2x}-1. Logo
y' = \frac{-2e^{x}}{e^{2x}-1}.
Agora simplifico usando identidades exponenciais: e^{2x}-1=e^{x}(e^{x}-e^{-x}). Então
y'=\frac{-2e^{x}}{e^{x}\,(e^{x}-e^{-x})}=\frac{-2}{e^{x}-e^{-x}}.
Recordando a definição da função seno hiperbólico \operatorname{sinh} x=\dfrac{e^{x}-e^{-x}}{2}, obtemos
y'=-\frac{1}{\operatorname{sinh} x}.
Pequena explicação/conferência: usei a definição \operatorname{sinh} x=(e^{x}-e^{-x})/2, então e^{x}-e^{-x}=2\operatorname{sinh} x. Substituindo deu o resultado acima.

Passo 3

Agora calculamos o integrando do comprimento de arco:
\sqrt{1+(y')^{2}}=\sqrt{1+\frac{1}{\operatorname{sinh}^{2}x}}.
Faço a soma dentro da raiz com calma:
1+\frac{1}{\operatorname{sinh}^{2}x}=\frac{\operatorname{sinh}^{2}x+1}{\operatorname{sinh}^{2}x}.
Uso a identidade hiperbólica fundamental \operatorname{cosh}^{2}x-\operatorname{sinh}^{2}x=1, que implica \operatorname{sinh}^{2}x+1=\operatorname{cosh}^{2}x. Assim
\sqrt{1+(y')^{2}}=\sqrt{\frac{\operatorname{cosh}^{2}x}{\operatorname{sinh}^{2}x}}=\frac{|\operatorname{cosh} x|}{|\operatorname{sinh} x|}.
Como \operatorname{cosh} x>0 para todo x, isto é simplesmente
\sqrt{1+(y')^{2}}=\frac{\operatorname{cosh} x}{|\operatorname{sinh} x|}=| \coth x |,
onde \coth x=\dfrac{\operatorname{cosh} x}{\operatorname{sinh} x}. Resumo: o integrando do comprimento é |\coth x|.

Passo 4

Escrevo a fórmula do comprimento de arco e discuto o domínio:
L=\int_{a}^{b}\sqrt{1+(y')^{2}}\,dx=\int_{a}^{b}|\coth x|\,dx.
Lembrete importante: a função original não está definida em x=0. Portanto o intervalo [a,b] deve ficar inteiramente em (0,\infty) ou inteiramente em (-\infty,0). Não faz sentido integrar através de 0 aqui (haveria divergência). Então tratamos os dois casos separadamente:
  • Caso 1: 0<a<b. Então \operatorname{sinh} x>0 e \coth x>0 em [a,b], logo |\coth x|=\coth x.
  • Caso 2: a<b<0. Então \operatorname{sinh} x<0 e \coth x<0 em [a,b], logo |\coth x|=-\coth x.
Agora precisamos de uma primitiva de \coth x. Sabendo que \dfrac{d}{dx}\operatorname{sinh} x=\operatorname{cosh} x, obtemos
\frac{d}{dx}\ln|\operatorname{sinh} x|=\frac{\operatorname{cosh} x}{\operatorname{sinh} x}=\coth x.
Portanto uma primitiva de \coth x é \ln|\operatorname{sinh} x|.

Passo 5

Calculo das integrais em cada caso e simplificação final.
Caso 1: 0<a<b. Temos
L=\int_{a}^{b}\coth x\,dx=\bigl[\ln(\operatorname{sinh} x)\bigr]_{x=a}^{x=b}=\ln(\operatorname{sinh} b)-\ln(\operatorname{sinh} a)=\ln\!\left(\frac{\operatorname{sinh} b}{\operatorname{sinh} a}\right).
Caso 2: a<b<0. Aqui |\coth x|=-\coth x, então
L=-\int_{a}^{b}\coth x\,dx=-\bigl[\ln|\operatorname{sinh} x|\bigr]_{x=a}^{x=b}=-\bigl(\ln|\operatorname{sinh} b|-\ln|\operatorname{sinh} a|\bigr)=\ln\!\left(\frac{|\operatorname{sinh} a|}{|\operatorname{sinh} b|}\right).
Como para x<0 temos |\operatorname{sinh} x|=\operatorname{sinh}|x|, podemos reescrever esse caso como
L=\ln\!\left(\frac{\operatorname{sinh}|a|}{\operatorname{sinh}|b|}\right).
Uma forma compacta e prática de apresentar a resposta válida quando o intervalo não cruza 0 é
L=\left|\ln\!\left(\frac{\operatorname{sinh} b}{\operatorname{sinh} a}\right)\right|.
Isto funciona porque, se a e b têm o mesmo sinal, a razão \dfrac{\operatorname{sinh} b}{\operatorname{sinh} a} é positiva e o módulo dá o comprimento positivo. Reforço: não é possível aplicar essa fórmula se a<0<b, porque \operatorname{sinh} muda de sinal e a função original não está definida em 0.

Resposta

\displaystyle L=\left|\ln\!\left(\frac{\operatorname{sinh} b}{\operatorname{sinh} a}\right)\right|, válida desde que o intervalo [a,b] não contenha 0 (isto é, ou 0<a<b ou a<b<0).

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