Encontrar o comprimento de arco da curva dada:
Passo 1
O enunciado pede: encontrar o comprimento de arco da curva dada por
Informações relevantes fornecidas: o gráfico é a curva definida pela função
acima, e o intervalo de
sobre o qual devemos medir o comprimento é
. O objetivo final é um número (o comprimento) correspondente à integral apropriada sobre esse intervalo.
Passo 2
Qual é a fórmula que usamos para comprimento de arco? Se temos uma curva dada por
com
diferenciável, o comprimento de arco entre
e
é
Explicando essa fórmula de forma intuitiva: pegue um pequeno trecho da curva entre
e
. O incremento horizontal é
e o vertical é
. O comprimento desse pedaço é
. Somando (integrando) esses pedaços de
até
obtemos a integral acima.
Passo 3
Primeiro passo concreto: calcular a derivada
usando a regra do poder (derivada de
é
) e a linearidade da derivada.
Temos
Derivando termo a termo:
Portanto
Passo 4
Agora substituímos na fórmula do comprimento de arco. Precisamos de
. Primeiro escrevo
de forma compacta: seja
e
, assim
.
Calcule
:
Note que
é um número constante:
.
Então
Passo 5
Agora
fica
Mas observe que
porque
. Comparando, concluímos que
Voltando aos coeficientes originais,
Passo 6
Como
então
e
são positivos, e portanto a raiz quadrada principal é simplesmente
Isso simplifica muito a integral do comprimento: ao invés de uma raiz complicada, temos uma soma de potências simples.
Passo 7
Montamos a integral do comprimento:
Integramos termo a termo. Para
,
Para
,
Logo uma antiderivada para o integrando é
Passo 8
Avalio
nos limites
e
:
Subtraindo,
Colocando em denominador comum
:
Logo
Como verificação numérica,
.