Encontrar o comprimento de arco da curva dada:
y=\frac{x^{5}}{6}+\frac{1}{10 x^{3}}, 1 \leq x \leq 2

Passo 1

O enunciado pede: encontrar o comprimento de arco da curva dada por
y=\frac{x^{5}}{6}+\frac{1}{10x^{3}},\qquad 1\le x\le 2.
Informações relevantes fornecidas: o gráfico é a curva definida pela função y(x) acima, e o intervalo de x sobre o qual devemos medir o comprimento é [1,2]. O objetivo final é um número (o comprimento) correspondente à integral apropriada sobre esse intervalo.

Passo 2

Qual é a fórmula que usamos para comprimento de arco? Se temos uma curva dada por y=y(x) com y diferenciável, o comprimento de arco entre x=a e x=b é
L=\int_{a}^{b}\sqrt{1+\bigl(y'(x)\bigr)^{2}}\,dx.
Explicando essa fórmula de forma intuitiva: pegue um pequeno trecho da curva entre x e x+dx. O incremento horizontal é dx e o vertical é dy=y'(x)\,dx. O comprimento desse pedaço é \sqrt{(dx)^{2}+(dy)^{2}}=\sqrt{1+(y')^{2}}\,dx. Somando (integrando) esses pedaços de a até b obtemos a integral acima.

Passo 3

Primeiro passo concreto: calcular a derivada y'(x) usando a regra do poder (derivada de x^{n} é n x^{n-1}) e a linearidade da derivada.
Temos
y(x)=\frac{x^{5}}{6}+\frac{1}{10}x^{-3}.
Derivando termo a termo:
\frac{d}{dx}\!\left(\frac{x^{5}}{6}\right)=\frac{1}{6}\cdot 5x^{4}=\frac{5}{6}x^{4},
\frac{d}{dx}\!\left(\frac{1}{10}x^{-3}\right)=\frac{1}{10}\cdot(-3)x^{-4}=-\frac{3}{10}x^{-4}.
Portanto
y'(x)=\frac{5}{6}x^{4}-\frac{3}{10}x^{-4}.

Passo 4

Agora substituímos na fórmula do comprimento de arco. Precisamos de 1+\bigl(y'(x)\bigr)^{2}. Primeiro escrevo y'(x) de forma compacta: seja A=\dfrac{5}{6} e C=\dfrac{3}{10}, assim y'(x)=A x^{4}-C x^{-4}.
Calcule \bigl(y'(x)\bigr)^{2}:
\bigl(y'(x)\bigr)^{2}=(A x^{4}-C x^{-4})^{2}=A^{2}x^{8}-2AC + C^{2}x^{-8}.
Note que 2AC é um número constante: 2AC=2\cdot\dfrac{5}{6}\cdot\dfrac{3}{10}=\dfrac{30}{60}=\dfrac{1}{2}.
Então
\bigl(y'(x)\bigr)^{2}=A^{2}x^{8}+C^{2}x^{-8}-\frac{1}{2}.

Passo 5

Agora 1+\bigl(y'(x)\bigr)^{2} fica
1+\bigl(y'(x)\bigr)^{2}=A^{2}x^{8}+C^{2}x^{-8}-\frac{1}{2}+1=A^{2}x^{8}+C^{2}x^{-8}+\frac{1}{2}.
Mas observe que
\bigl(Ax^{4}+Cx^{-4}\bigr)^{2}=A^{2}x^{8}+2AC+C^{2}x^{-8}=A^{2}x^{8}+C^{2}x^{-8}+\frac{1}{2},
porque 2AC=\dfrac{1}{2}. Comparando, concluímos que
1+\bigl(y'(x)\bigr)^{2}=\bigl(Ax^{4}+Cx^{-4}\bigr)^{2}.
Voltando aos coeficientes originais,
1+\bigl(y'(x)\bigr)^{2}=\left(\frac{5}{6}x^{4}+\frac{3}{10}x^{-4}\right)^{2}.

Passo 6

Como x\in[1,2] então x^{4} e x^{-4} são positivos, e portanto a raiz quadrada principal é simplesmente
\sqrt{1+\bigl(y'(x)\bigr)^{2}}=\frac{5}{6}x^{4}+\frac{3}{10}x^{-4}.
Isso simplifica muito a integral do comprimento: ao invés de uma raiz complicada, temos uma soma de potências simples.

Passo 7

Montamos a integral do comprimento:
L=\int_{1}^{2}\left(\frac{5}{6}x^{4}+\frac{3}{10}x^{-4}\right)\,dx.
Integramos termo a termo. Para x^{4},
\int \frac{5}{6}x^{4}\,dx=\frac{5}{6}\cdot\frac{x^{5}}{5}=\frac{1}{6}x^{5}.
Para x^{-4},
\int \frac{3}{10}x^{-4}\,dx=\frac{3}{10}\cdot\frac{x^{-3}}{-3}=-\frac{1}{10}x^{-3}.
Logo uma antiderivada para o integrando é
F(x)=\frac{1}{6}x^{5}-\frac{1}{10}x^{-3}.

Passo 8

Avalio F nos limites 1 e 2:
F(2)=\frac{1}{6}\cdot 2^{5}-\frac{1}{10}\cdot 2^{-3}=\frac{1}{6}\cdot 32-\frac{1}{10}\cdot\frac{1}{8}=\frac{32}{6}-\frac{1}{80}=\frac{16}{3}-\frac{1}{80}.
F(1)=\frac{1}{6}\cdot 1^{5}-\frac{1}{10}\cdot 1^{-3}=\frac{1}{6}-\frac{1}{10}=\frac{1}{15}.
Subtraindo,
L=F(2)-F(1)=\left(\frac{16}{3}-\frac{1}{80}\right)-\frac{1}{15}.
Colocando em denominador comum 240:
\frac{16}{3}=\frac{1280}{240},\qquad \frac{1}{80}=\frac{3}{240},\qquad \frac{1}{15}=\frac{16}{240}.
Logo
L=\frac{1280}{240}-\frac{3}{240}-\frac{16}{240}=\frac{1280-3-16}{240}=\frac{1261}{240}.
Como verificação numérica, \dfrac{1261}{240}\approx 5,2541667.

Resposta

\dfrac{1261}{240}

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