Encontrar o comprimento de arco da curva dada.
y=x^{2 / 3}-1, 1 ≤ x ≤ 2;

Passo 1

O enunciado pede o comprimento de arco da curva
y = x^{2/3} - 1,
para 1 \le x \le 2. O método é usar a fórmula do comprimento de arco para uma função y(x):
L = \int_{a}^{b} \sqrt{1 + \bigl(y'(x)\bigr)^{2}}\,dx.

Passo 2

Calculamos a derivada de y. Como y = x^{2/3}-1, temos
y' = \frac{d}{dx}\bigl(x^{2/3}\bigr) = \frac{2}{3}\,x^{-1/3}.

Passo 3

Substituímos na fórmula do comprimento de arco:
L = \int_{1}^{2} \sqrt{1 + \Bigl(\tfrac{2}{3}x^{-1/3}\Bigr)^{2}} \,dx = \int_{1}^{2} \sqrt{1 + \tfrac{4}{9}\,x^{-2/3}} \,dx.

Passo 4

Para simplificar o integrando, escrevemos
1 + \tfrac{4}{9}\,x^{-2/3} = \frac{9x^{2/3} + 4}{9x^{2/3}} \quad\Longrightarrow\quad \sqrt{1 + \tfrac{4}{9}x^{-2/3}} = \frac{\sqrt{9x^{2/3}+4}}{3\,x^{1/3}}.
Então
L = \int_{1}^{2} \frac{\sqrt{9x^{2/3}+4}}{3\,x^{1/3}} \,dx.

Passo 5

Fazemos a substituição u = x^{1/3}. Então x = u^{3} e dx = 3u^{2}\,du. Note também que x^{2/3}=u^{2}. Os limites mudam de x=1 para u=1 e de x=2 para u=2^{1/3}. Assim,
L = \int_{u=1}^{u=2^{1/3}} \frac{\sqrt{9u^{2}+4}}{3\,u} \,\bigl(3u^{2}\,du\bigr) = \int_{1}^{2^{1/3}} u\,\sqrt{9u^{2}+4}\,du.

Passo 6

Para integrar \displaystyle \int u\sqrt{9u^{2}+4}\,du, usamos t = 9u^{2}+4, de onde dt = 18u\,du e u\,du = dt/18. Assim,
\int u\sqrt{9u^{2}+4}\,du = \int \sqrt{t}\,\frac{dt}{18} = \frac{1}{18}\,\frac{2}{3}\,t^{3/2} = \frac{1}{27}\,t^{3/2}.

Passo 7

Voltando a u, obtemos a integral avaliada entre u=1 e u=2^{1/3}:
L = \frac{1}{27}\Bigl[(9u^{2}+4)^{3/2}\Bigr]_{1}^{2^{1/3}} = \frac{1}{27}\Bigl[(9\,(2^{2/3})+4)^{3/2} - (9\cdot1^{2}+4)^{3/2}\Bigr].

Resposta

L = \frac{1}{27}\Bigl[\bigl(9\cdot2^{2/3}+4\bigr)^{3/2} - 13^{3/2}\Bigr].

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