Encontrar o comprimento de arco da curva dada.
y=x^{2 / 3}-1, 1 ≤ x ≤ 2;
y=x^{2 / 3}-1, 1 ≤ x ≤ 2;
Passo 1
O enunciado pede o comprimento de arco da curva
para
. O método é usar a fórmula do comprimento de arco para uma função
:
Passo 2
Calculamos a derivada de
. Como
, temos
Passo 3
Substituímos na fórmula do comprimento de arco:
Passo 4
Para simplificar o integrando, escrevemos
Então
Passo 5
Fazemos a substituição
. Então
e
. Note também que
. Os limites mudam de
para
e de
para
. Assim,
Passo 6
Para integrar
, usamos
, de onde
e
. Assim,
Passo 7
Voltando a
, obtemos a integral avaliada entre
e
: