Encontrar o comprimento de arco da curva dada.
x=\frac{1}{3} y^{3}+\frac{1}{4 y}, 1 ≤ y ≤ 3 ;

Passo 1

O enunciado pede para encontrar o comprimento de arco da curva definida por
x = \frac{1}{3}y^{3} + \frac{1}{4y},
no intervalo 1 \le y \le 3.
Aqui o conteúdo é comprimento de arco para curva dada por x=f(y), cuja fórmula é
L = \int_{y_{1}}^{y_{2}} \sqrt{1 + \bigl(f'(y)\bigr)^{2}}\;dy.

Passo 2

Vamos achar a derivada \frac{dx}{dy}. Como
x = \frac{1}{3}y^{3} + \frac{1}{4y},
temos
\frac{dx}{dy} = \frac{d}{dy}\Bigl(\tfrac{1}{3}y^{3}\Bigr) + \frac{d}{dy}\Bigl(\tfrac{1}{4y}\Bigr) = y^{2} - \frac{1}{4y^{2}}.

Passo 3

Montamos o integrando
\sqrt{1 + \bigl(y^{2} - \tfrac{1}{4y^{2}}\bigr)^{2}}.
Primeiro desenvolvendo o quadrado:
1 + \Bigl(y^{2} - \tfrac{1}{4y^{2}}\Bigr)^{2} = 1 + \Bigl(y^{4} - \tfrac12 + \tfrac{1}{16y^{4}}\Bigr) = y^{4} + \tfrac12 + \tfrac{1}{16y^{4}}.
Repare que
\Bigl(y^{2} + \tfrac{1}{4y^{2}}\Bigr)^{2} = y^{4} + 2\cdot y^{2}\cdot\tfrac{1}{4y^{2}} + \tfrac{1}{16y^{4}} = y^{4} + \tfrac12 + \tfrac{1}{16y^{4}},
logo para y>0 temos
\sqrt{1 + (x')^{2}} = y^{2} + \frac{1}{4y^{2}}.

Passo 4

Agora basta integrar de 1 a 3:
L = \int_{1}^{3}\Bigl(y^{2} + \tfrac{1}{4y^{2}}\Bigr)\,dy = \int_{1}^{3}y^{2}\,dy + \tfrac{1}{4}\int_{1}^{3}y^{-2}\,dy.
Calculando cada parte:
\int_{1}^{3}y^{2}\,dy = \left[\frac{y^{3}}{3}\right]_{1}^{3} = 9 - \tfrac{1}{3} = \frac{26}{3},
\int_{1}^{3}y^{-2}\,dy = \left[-\frac{1}{y}\right]_{1}^{3} = -\tfrac{1}{3} + 1 = \tfrac{2}{3}.
Portanto
L = \frac{26}{3} + \frac{1}{4}\!\cdot\!\frac{2}{3} = \frac{26}{3} + \frac{1}{6} = \frac{53}{6}.

Resposta

\displaystyle \frac{53}{6}

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