Encontrar o comprimento de arco da curva dada na forma paramétrica.
\left\{\begin{array}{l}x=e^{t} \cos t, \\\ y=e^{t} \sin t\end{array} \quad t \in[0,2]\right.;

Passo 1

O enunciado pede o comprimento de arco da curva paramétrica
x = e^{t}\cos t,\quad y = e^{t}\sin t,\quad t\in[0,2].
Para isso vamos usar a fórmula do comprimento de arco de curva paramétrica
s = \int_{a}^{b} \sqrt{\bigl(\tfrac{dx}{dt}\bigr)^{2} + \bigl(\tfrac{dy}{dt}\bigr)^{2}}\;dt.

Passo 2

Calculamos as derivadas de x e y em função de t.
Derivando x obtemos
\frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt}\bigl(e^{t}\cos t\bigr) = e^{t}\cos t - e^{t}\sin t = e^{t}\bigl(\cos t - \sin t\bigr).
Derivando y obtemos
\frac{dy}{dt} = \frac{d}{dt}\bigl(e^{t}\sin t\bigr) = e^{t}\sin t + e^{t}\cos t = e^{t}\bigl(\sin t + \cos t\bigr).

Passo 3

Agora somamos o quadrado dessas derivadas:
\bigl(\tfrac{dx}{dt}\bigr)^{2} + \bigl(\tfrac{dy}{dt}\bigr)^{2} = e^{2t}\bigl(\cos t - \sin t\bigr)^{2} + e^{2t}\bigl(\sin t + \cos t\bigr)^{2} = 2\,e^{2t}.
Logo a integranda fica \sqrt{2\,e^{2t}} = \sqrt{2}\,e^{t}.

Passo 4

O comprimento de arco é
s = \int_{0}^{2} \sqrt{2}\,e^{t}\;dt = \sqrt{2}\,\int_{0}^{2} e^{t}\;dt.

Passo 5

Calculamos a integral:
\int_{0}^{2} e^{t}\;dt = \bigl[e^{t}\bigr]_{0}^{2} = e^{2} - 1.
Portanto
s = \sqrt{2}\,(e^{2} - 1).

Resposta

\displaystyle \sqrt{2}\,(e^{2}-1)

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