encontrar o comprimento de arco da curva dada.
Passo 1
O enunciado dá a curva
no intervalo de
de
até
e pede o comprimento de arco dessa curva entre esses dois pontos.
Informações relevantes:
Informações relevantes:
- A função:
. - Intervalo:
. - Objetivo: calcular o comprimento de arco entre
e .
Passo 2
Lembra da fórmula do comprimento de arco para uma curva dada por
sobre
? É esta:
Explicando devagar:
é o comprimento,
é a derivada da função; a raiz vem porque, localmente, o comprimento de um pequeno trecho é
que dividido por
dá
quando
.
Passo 3
Vamos calcular a derivada de
. Usamos a regra do poder: se
então
. Aplicando a
:
Detalhe: a derivada de
é
. Aqui
.
Passo 4
Agora calculemos
:
Passo 5
Substituímos na fórmula do comprimento de arco:
Vamos simplificar a raiz para poder integrar. Uma boa ideia é usar a mudança de variável
(porque aparece
): então
e
. Também atualizamos os limites: quando
temos
; quando
temos
.
Passo 6
Reescrevendo o integrando em termos de
. Primeiro note que
. Então
A raiz fica
Multiplicando pela medida
, o integrando completo é
Portanto a integral transforma-se em
Passo 7
Agora fazemos uma substituição simples para integrar: seja
. Então
, ou seja
. Quando
,
. Quando
,
.
Substituindo:
Passo 8
Integramos
: a primitiva é
. Multiplicando pelo fator
obtemos a primitiva completa:
Agora avaliamos entre os limites
e
:
Passo 9
Comentário final rápido para ficar tranquilo: obtivemos uma expressão exata para o comprimento de arco. Se você quiser conferir numericamente, pode calcular
e
e aplicar a fórmula acima — dá um número positivo e razoável, mas na prova vale entregar a expressão exata como fizemos.