encontrar o comprimento de arco da curva dada.
y=x^{2 / 3}-1,1 \leq x \leq 2

Passo 1

O enunciado dá a curva y=x^{2/3}-1 no intervalo de x de 1 até 2 e pede o comprimento de arco dessa curva entre esses dois pontos.
Informações relevantes:
  • A função: y=x^{2/3}-1.
  • Intervalo: 1 \le x \le 2.
  • Objetivo: calcular o comprimento de arco entre x=1 e x=2.

Passo 2

Lembra da fórmula do comprimento de arco para uma curva dada por y=f(x) sobre [a,b]? É esta:
L=\int_{a}^{b}\sqrt{1+\bigl(f'(x)\bigr)^2}\,dx
Explicando devagar: L é o comprimento, f'(x) é a derivada da função; a raiz vem porque, localmente, o comprimento de um pequeno trecho é \sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2} que dividido por \Delta x \sqrt{1+(y')^2} quando \Delta x\to0.

Passo 3

Vamos calcular a derivada de y. Usamos a regra do poder: se y=x^n então y'=n x^{n-1}. Aplicando a y=x^{2/3}-1:
y'=\frac{2}{3}x^{-1/3}.
Detalhe: a derivada de -1 é 0. Aqui x^{-1/3}=\dfrac{1}{x^{1/3}}.

Passo 4

Agora calculemos \bigl(y'\bigr)^2:
\bigl(y'\bigr)^2=\left(\frac{2}{3}x^{-1/3}\right)^2=\frac{4}{9}x^{-2/3}.

Passo 5

Substituímos na fórmula do comprimento de arco:
L=\int_{1}^{2}\sqrt{1+\frac{4}{9}x^{-2/3}}\,dx.
Vamos simplificar a raiz para poder integrar. Uma boa ideia é usar a mudança de variável u=x^{1/3} (porque aparece x^{-2/3}): então x=u^3 e dx=3u^2\,du. Também atualizamos os limites: quando x=1 temos u=1; quando x=2 temos u=2^{1/3}=\sqrt[3]{2}.

Passo 6

Reescrevendo o integrando em termos de u. Primeiro note que x^{-2/3}=u^{-2}. Então
1+\frac{4}{9}x^{-2/3}=1+\frac{4}{9}u^{-2}=\frac{9u^{2}+4}{9u^{2}}.
A raiz fica
\sqrt{1+\frac{4}{9}x^{-2/3}}=\frac{\sqrt{9u^{2}+4}}{3u}.
Multiplicando pela medida dx=3u^{2}\,du, o integrando completo é
\frac{\sqrt{9u^{2}+4}}{3u}\cdot 3u^{2}\,du = u\sqrt{9u^{2}+4}\,du.
Portanto a integral transforma-se em
L=\int_{u=1}^{u=\sqrt[3]{2}} u\sqrt{9u^{2}+4}\,du.

Passo 7

Agora fazemos uma substituição simples para integrar: seja v=9u^{2}+4. Então dv=18u\,du, ou seja u\,du=\dfrac{dv}{18}. Quando u=1, v=9\cdot1^{2}+4=13. Quando u=\sqrt[3]{2}, v=9\bigl(\sqrt[3]{2}\bigr)^{2}+4=9\cdot 2^{2/3}+4.
Substituindo:
L=\int_{v=13}^{v=9\cdot 2^{2/3}+4} \sqrt{v}\cdot\frac{dv}{18}=\frac{1}{18}\int_{13}^{9\cdot 2^{2/3}+4} v^{1/2}\,dv.

Passo 8

Integramos v^{1/2}: a primitiva é \dfrac{2}{3}v^{3/2}. Multiplicando pelo fator \dfrac{1}{18} obtemos a primitiva completa:
\text{primitiva}=\frac{1}{18}\cdot\frac{2}{3}v^{3/2}=\frac{1}{27}v^{3/2}.
Agora avaliamos entre os limites v=13 e v=9\cdot 2^{2/3}+4:
L=\frac{1}{27}\Bigl[\bigl(9\cdot 2^{2/3}+4\bigr)^{3/2}-13^{3/2}\Bigr].

Passo 9

Comentário final rápido para ficar tranquilo: obtivemos uma expressão exata para o comprimento de arco. Se você quiser conferir numericamente, pode calcular \bigl(9\cdot 2^{2/3}+4\bigr)^{3/2} e 13^{3/2} e aplicar a fórmula acima — dá um número positivo e razoável, mas na prova vale entregar a expressão exata como fizemos.

Resposta

\displaystyle L=\frac{1}{27}\Bigl[\bigl(9\cdot 2^{2/3}+4\bigr)^{3/2}-13^{3/2}\Bigr]

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