(2,0) Encontrar o comprimento do arco da curva r(t)=(t, t^2 / 3) do ponto P= (1,1) ao ponto Q=(4, raiz[3]16).

Passo 1

Vamos resolver um exercício de cálculo que envolve encontrar o comprimento de um arco de uma curva. A curva é definida pela função vetorial r(t) = (t, t^2/3), e queremos calcular o comprimento do arco entre os pontos P = (1,1) e Q = (4, raiz[3]16). Para isso, vamos usar a fórmula de comprimento de arco para curvas parametrizadas.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender a fórmula para o comprimento de um arco de uma curva parametrizada. Se a curva é dada por r(t) = (x(t), y(t)), o comprimento do arco de t = a até t = b é dado por:
L = integrala^b raiz(dxdt)^2 + (dydt)^2 , dt
Vamos aplicar essa fórmula à nossa curva.

Passo 3

Identificamos as funções x(t) e y(t) na nossa curva:
x(t) = t y(t) = t^2/3
Agora, precisamos calcular as derivadas dessas funções em relação a t:
dxdt = ddt(t) = 1 dydt = ddt(t^2/3) = 23 t^-1/3

Passo 4

Substituímos as derivadas na fórmula do comprimento do arco:
L = integrala^b raiz(1)^2 + (23 t^-1/3)^2 , dt = integrala^b raiz1 + 49 t^-2/3 , dt

Passo 5

Simplificamos a expressão dentro da raiz:
raiz1 + 49 t^-2/3 = raiz99 + 49 t^-2/3 = raiz9 + 4 t^-2/39 = raiz9 + 4 t^-2/33
Então, a integral fica:
L = integrala^b raiz9 + 4 t^-2/33 , dt

Passo 6

Antes de prosseguir, precisamos determinar os limites de integração a e b. Sabemos que o ponto P corresponde a t = 1, pois x(1) = 1 e y(1) = 1. O ponto Q tem coordenadas x = 4, então t = 4.
Portanto, os limites de integração são de t = 1 até t = 4.

Passo 7

Agora, vamos escrever a integral com os limites definidos:
L = integral1^4 raiz9 + 4 t^-2/33 , dt = 13 integral1^4 raiz9 + 4 t^-2/3 , dt

Passo 8

Para resolver essa integral, fazemos uma substituição para simplificar a expressão. Vamos tentar uma substituição que facilite a integração.
Deixe u = t^1/3, então t = u^3 e dtdu = 3u^2, ou seja, dt = 3u^2 du.
Substituindo na integral:
Simplificando:
L = 13 integralu=1^u=4^1/3 raiz9 + 4 (u^3)^-2/3 cdot 3u^2 du

Passo 9

Simplificamos a expressão dentro da raiz:
raiz9 + 4u^2 = raiz9u^2 + 4u^2 = raiz9u^2 + 4u
Substituindo de volta na integral:
L = integral1^raiz[3]4 raiz9u^2 + 4u cdot u^2 du = integral1^raiz[3]4 raiz9u^2 + 4 cdot u , du

Passo 10

Agora, fazemos outra substituição para facilitar a integração. Seja v = 9u^2 + 4, então dvdu = 18u, ou seja, du = dv18u.
Substituindo na integral:
L = integral raizv cdot u cdot dv18u = 118 integral raizv , dv

Passo 11

Integrando raizv:
integral raizv , dv = 23 v^3/2 + C
Então,
L = 118 cdot 23 v^3/2 |v=9(1)^2 + 4^v=9(raiz[3]4)^2 + 4 = 127 [ v^3/2 ]13^9 cdot 4^2/3 + 4

Passo 12

Calculamos os limites:
Para u = 1:
v = 9(1)^2 + 4 = 13
Para u = raiz[3]4:
v = 9(raiz[3]4)^2 + 4 = 9 cdot 4^2/3 + 4
Portanto,
L = 127 [ (9 cdot 4^2/3 + 4)^3/2 - 13^3/2 ]

Resposta

O comprimento do arco da curva r(t) = (t, t^2/3) do ponto P = (1,1) ao ponto Q = (4, raiz[3]16) é dado por:
L = 127 [ (9 cdot 4^2/3 + 4)^3/2 - 13^3/2 ]
Este valor pode ser calculado numericamente para obter uma aproximação do comprimento do arco.

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