Encontrar o comprimento do arco da curva do ponto ao ponto .
Passo 1
Vamos resolver um exercício de cálculo que envolve encontrar o comprimento de um arco de uma curva. A curva é definida pela função vetorial , e queremos calcular o comprimento do arco entre os pontos e . Para isso, vamos usar a fórmula de comprimento de arco para curvas parametrizadas.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender a fórmula para o comprimento de um arco de uma curva parametrizada. Se a curva é dada por , o comprimento do arco de até é dado por:
Vamos aplicar essa fórmula à nossa curva.
Passo 3
Identificamos as funções e na nossa curva:
Agora, precisamos calcular as derivadas dessas funções em relação a :
Passo 4
Substituímos as derivadas na fórmula do comprimento do arco:
Passo 5
Simplificamos a expressão dentro da raiz:
Então, a integral fica:
Passo 6
Antes de prosseguir, precisamos determinar os limites de integração e . Sabemos que o ponto corresponde a , pois e . O ponto tem coordenadas , então .
Portanto, os limites de integração são de até .
Passo 7
Agora, vamos escrever a integral com os limites definidos:
Passo 8
Para resolver essa integral, fazemos uma substituição para simplificar a expressão. Vamos tentar uma substituição que facilite a integração.
Deixe , então e , ou seja, .
Substituindo na integral:
Simplificando:
Passo 9
Simplificamos a expressão dentro da raiz:
Substituindo de volta na integral:
Passo 10
Agora, fazemos outra substituição para facilitar a integração. Seja , então , ou seja, .
Substituindo na integral:
Passo 11
Integrando :
Então,
Passo 12
Calculamos os limites:
Para u = 1:
v = 9(1)^2 + 4 = 13
Para u = raiz[3]4:
v = 9(raiz[3]4)^2 + 4 = 9 cdot 4^2/3 + 4
Portanto,
L = 127 [ (9 cdot 4^2/3 + 4)^3/2 - 13^3/2 ]
Resposta
O comprimento do arco da curva r(t) = (t, t^2/3) do ponto P = (1,1) ao ponto Q = (4, raiz[3]16) é dado por:
L = 127 [ (9 cdot 4^2/3 + 4)^3/2 - 13^3/2 ]
Este valor pode ser calculado numericamente para obter uma aproximação do comprimento do arco.