Encontrar o comprimento de arco das curvas dadas:
11.12)
11.12)
Passo 1
O enunciado pede o comprimento de arco da curva
para
. Isso é um problema de comprimento de arco de função
, e vamos precisar de:
– Derivar
em relação a
para achar
.
– Substituir na fórmula .
– Simplificar a raiz e integrar.
– Substituir na fórmula
– Simplificar a raiz e integrar.
Passo 2
Começamos derivando
. Usando regra da cadeia:
Colocando na mesma fração:
Passo 3
Agora montamos o integrando:
Logo
Passo 4
Para integrar
, fazemos a substituição
, então
e
. O integrando vira:
Integramos:
Voltando a
:
Passo 5
Agora aplicamos os limites de
a
:
Como
, obtemos o resultado final.
Passo 6
A expressão final simplifica para: