Encontrar o comprimento de arco das curvas dadas:
11.12) y=ln (e^x+1e^x-1), 1 <= x <= 2

Passo 1

O enunciado pede o comprimento de arco da curva y=lnl(e^x+1e^x-1r) para 1<= x<=2. Isso é um problema de comprimento de arco de função y=f(x), e vamos precisar de:
– Derivar y em relação a x para achar y'.
– Substituir na fórmula L=integrala^braiz1+(y')^2,dx.
– Simplificar a raiz e integrar.

Passo 2

Começamos derivando y=ln(e^x+1)-ln(e^x-1). Usando regra da cadeia:
y'=e^xe^x+1-e^xe^x-1
Colocando na mesma fração:
y'=e^xl(1e^x+1-1e^x-1r) =-2e^xe^2x-1

Passo 3

Agora montamos o integrando:
raiz1+(y')^2 =raiz1+4e^2x(e^2x-1)^2 =raiz(e^2x-1)^2+4e^2x(e^2x-1)^2 =e^2x+1e^2x-1
Logo
L=integral1^2e^2x+1e^2x-1,dx

Passo 4

Para integrar integrale^2x+1e^2x-1dx, fazemos a substituição t=e^2x, então dt=2e^2xdx e dx=dt/(2t). O integrando vira:
e^2x+1e^2x-1dx =t+1t-1cdotdt2t =12l(-1t+2t-1r)dt
Integramos:
L=12l(-ln|t|+2ln|t-1|r)+C =-tfrac12ln t+ln(t-1)+C
Voltando a x:
L=-x+ln(e^2x-1)+C

Passo 5

Agora aplicamos os limites de x=1 a x=2:
L=l[-x+ln(e^2x-1)r]1^2 =-2+ln(e^4-1)-l(-1+ln(e^2-1)r) =-1+lnl(e^4-1e^2-1r)
Como e^4-1e^2-1=e^2+1, obtemos o resultado final.

Passo 6

A expressão final simplifica para:
L=ln(e^2+1)-1

Resposta

ln(e^2+1)-1

Exercícios relacionados